Matematyka.pl

Witam!
Usłyszałem ostatnio o pewnym fakcie: "Każdy nieprzeliczalny zbiór borelowski zawiera podzbiór doskonały (zb. domknięty bez punktów izolowanych)".
Interesuje mnie dowód tego faktu; wie ktoś gdzie można go znaleźć? Chodzi mi o przypadek, gdy w roli przestrzeni występuje: prosta ze zwyczajną topologią. Ale uogólnione twierdzenie też może być.

Zobacz tu: ... Clopen.pdf Corollary 6.5

Dziękuję za pomoc. Mam jeszcze jedną wątpliwość.
Zauważyłem, że w tym twierdzeniu trzeba założyć, że rozważana przestrzeń jest przestrzenią polską; podczas poszukiwań trafiłem na twierdzenie Cantora-Bendixsona, które mówi, że przestrzeń spełniająca II aksjomat przeliczalności jest sumą dwóch zbiorów: doskonałego oraz przeliczalnego.
Czyli każdy nieprzeliczalny zbiór borelowski, traktowany jako podprzestrzeń topologiczna, rozkłada się w ten sposób, bo drugi aksjomat przeliczalności jest dziedziczny. Więc jak to w końcu jest? To założenie o przestrzeni polskiej jest konieczne czy nie? Mam wrażenie, że zakładamy polskość dlatego, że cały rozdział traktuje o pewnych specyficznych własnościach tych przestrzeni.

TPB pisze:podzbiór doskonały (zb. domknięty bez punktów izolowanych)

Może być pusty?

TPB pisze:
Czyli każdy nieprzeliczalny zbiór borelowski, traktowany jako podprzestrzeń topologiczna, rozkłada się w ten sposób, bo drugi aksjomat przeliczalności jest dziedziczny.

Ale chyba chcesz, żeby ten podzbiór był domknięty w całej przestrzeni, a nie tylko w danym zbiorze borelowskim.

W definicji mam, że zbiór doskonały może być pusty, chociaż mnie interesuje, aby był on raczej niepustym zbiorem.

Co do Twojego drugiego komentarza, to racja; nie każdy podzbiór domknięty w podprzestrzeni jest domknięty w pierwotnej przestrzeni.
OK już wszystko jasne.