Matematyka.pl

moze mi ktos powiedziec jak rozwiazac ? (krok po kroku )

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{ln(x+e^{y})-x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\)

Dziekuje z gory.

Policz granice iterowane.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} ( \lim_{y \to 0} f(x,y))}\)
\(\displaystyle{ \lim_{y \to 0 } ( \lim_{x \to 0} f(x,y))}\)

policzylem, ale nie mam pojecia co dalej .

Jeżeli są różne to granica nie istnieje.

Ja policzyłam i wyszło w obu 0. To świadczy o tym, że o ile granica istnieje, to wynosi 0. Ale nie wiemy, czy istnieje. Co dalej? Próbowałam też liczyć parę granic dla ustalonych ciągów x_n, y_n, np. jak schodzimy do zera wzdłuż y=x od pierwszej ćwiartki, to też wychodzi 0, jak wzdłuż y=x od trzeciej ćwiartki, to również. Ogólnie - jakoś trudno strasznie znaleźć taki ciąg (x_n,y_n), żeby nie wychodziło w granicy 0, ale nie potrafię udowodnić, że granicą jest 0. Myślę, że można coś wykombinować zamieniając funkcję na funkcję od norm (np. w mianowniku jest p-ta norma druga).

Jakieś wskazówki? :3

Przejście na współrzędne biegunowe, wtedy dla \(\displaystyle{ r\to 0}\) granica zależy od kąta.