Matematyka.pl

1)
Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}+px ^{2}-qx+6}\) są liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -3}\). Wyznacz wartość współczynników \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) oraz trzeci pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ W}\).

2)
Pierwiastkami wielomianu czwartego stopnia są liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\). Wielomian ten jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ q(x)=x ^{2}+2x-3}\). Napisz wzór tego wielomianu, jeżeli wiadomo, że do jego wykresu należy punkt \(\displaystyle{ P(-1,24)}\).

3)
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez trójmian \(\displaystyle{ p(x)=x ^{2}-4x-5}\), wiedząc, że liczba \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\) oraz \(\displaystyle{ W(-1)=6}\).

Proszę o pomoc, ponieważ nie potrafię rozwiązać tych zadań.
Z góry dziękuję.

co oznacz ze liczba jest pierwiastkiem wielomianu?

1) Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ W(1)=W(-3)=0}\).
2) \(\displaystyle{ Q(x)=(x+3)(x-2)}\), więc z twierdzenia o reszcie (zakładając, że Twój wielomian 4 st. to \(\displaystyle{ W(x)}\)) \(\displaystyle{ W(-3)=W(2)=0}\).
3)\(\displaystyle{ P(x)=(x-5)(x+1)}\), a wiesz, że \(\displaystyle{ W(5)=0}\) i \(\displaystyle{ W(-1)=6}\). Zastosuj twierdzenie o reszcie.

1. Jeśli \(\displaystyle{ x=1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to \(\displaystyle{ W\left( 1\right) =0}\). Podobnie z drugim pierwiastkiem. Czyli masz do rozwiązania układ równań z dwiema niewiadomymi \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\).
2. Wielomian jest postaci \(\displaystyle{ a\left( x-x_1\right)\left( x-x_2\right) \left( x-x_3\right)\left( x-x_4\right)}\). Znasz \(\displaystyle{ x_1=2}\) i \(\displaystyle{ x_2=-2}\). Natomiast fakt, że wielomian jest podzielny przez trójmian oznacza, że ma takie same pierwiastki jak trójmian. Znajdź pierwiastki trójmianu, będą one pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x_3}\) i \(\displaystyle{ x_4}\). Natomiast współczynnik \(\displaystyle{ a}\) obliczysz podstawiając współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\).

Dzięki, za pomoc, wszystko zrobiłem