Matematyka.pl

Witam,

Po 3 latach odpoczynku od matematyki na studiach ona wróciła Nie proszę o pomoc w rozwiązaniu całego zadania, tylko o sprawdzenie, czy dobrze je przekształciłem przy zamianie zmiennych. Z dalszą częścią powinienem sobie poradzić.

Mam do rozwiązania następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych liniowych:
\(\displaystyle{ 4my _{1}'' +my_{2}''+4ky_{1}-2ky_{2}=3Pcos2 \omega x}\)
\(\displaystyle{ my_{1}''+my_{2}''-2ky_{1}+2ky_{2}=-Pcos 2 \omega x}\)
gdzie
\(\displaystyle{ y_1=y_1(x)}\)
\(\displaystyle{ y_2=y_2(x)}\)
\(\displaystyle{ m, k, P}\) - dane stałe dodatnie
\(\displaystyle{ omega= sqrt{ frac{k}{m} }
x in [0, infty )}\)
Przy następujących warunkach początkowych:
\(\displaystyle{ y_{1}(0)=2y_{0}}\)
\(\displaystyle{ y_{1}'(0)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{2}(0)=y_0}\)
\(\displaystyle{ y_{2}'(0)=v_{0}}\)

Zastosowałem zamianę zmiennych, wprowadzając \(\displaystyle{ r=\omega x}\) i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 4y_1''(r)+y_2''(r)+4y_1(r)-2y_2(r)= \frac{3Pcos 2r}{k}}\)
\(\displaystyle{ y_2''(r)+y_2''(r)-2y_1(r)+2y_2(r)= \frac{-Pcos 2r}{k}}\)

A przekształcone warunki początkowe to:
\(\displaystyle{ y_1(0)=2y_0}\)
\(\displaystyle{ y_1'(0)=0}\)
\(\displaystyle{ y_2(0)=y_0}\)
\(\displaystyle{ y_2'(0)= \frac{v_0}{\omega}}\)

Czy dobrze to przekształciłem? Jeśli będzie trzeba, to mogę podać całe przekształcenie, tylko wtedy jest trochę pisania.

Jedyne co budzi moje wątpliwości to czwarty warunek początkowy. Jak go wyprowadziłeś?

Dziękuję za odpowiedź.

Powiem szczerze, że robiłem to dość automatycznie, na podstawie przykładu robionego na zajęciach, i tam zostało pokazane, że w warunkach początkowych na funkcje \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\) pozostają one bez zmian, a przy warunkach na pierwsze pochodne tych funkcji, wcześniejsze wartości dzielimy przez \(\displaystyle{ \omega}\).