Matematyka.pl

X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym zadanym gęstością \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{2} \cdot 1_{<-1,1>}(x)}\). Wyznacz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{X}}\). Czy można wyznaczyć gęstość rozkł. Y?

Założenie to \(\displaystyle{ X \neq 0}\). Mam \(\displaystyle{ F_y=P(Y \le t)=P( \frac{1}{X} \le t)}\)

Czy w tym momencie powinnam rozdzielić na dwa przypadki: \(\displaystyle{ t>0}\) i \(\displaystyle{ t<0}\)?
Bardzo proszę o rozpisanie co dalej.

Czy w tym momencie powinnam rozdzielić na dwa przypadki: t>0 i t<0?

Raczej przypadki X>0 i X<0. A dokładniej - rozwiązujesz nierówność \(\displaystyle{ \frac1X\le t}\) dokładnie tak samo, jak w szkole średniej, tj. przekształcasz równoważnie do \(\displaystyle{ X\le tX^2\,\wedge\,X\neq0}\).

Czy dalej sobie poradzisz?

sG


PS: zwracam honor... jednak bez rozpatrywania przypadków t<0 i t>0 się nie obejdzie...

dla \(\displaystyle{ t>0}\)
\(\displaystyle{ P(X \ge \frac{1}{t} )=1-P(X \le \frac{1}{t})= 1- \frac{1}{2} ( \int_{- \infty }^{-1}0 \mbox{d}x + \int_{- 1 }^{0}1 \mbox{d}x + \int_{0 }^{ \frac{1}{t} }1 \mbox{d}x )= 1-(- \frac{1}{2}+ \frac{1}{t})= \frac{1}{2} - \frac{1}{t}}\)
i dla t<0 analogicznie?
jak potem to złączyć w jedno?