Matematyka.pl

zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \left( \left( \frac{4n-3}{4n+1} \right)^{n} \right) ^{2}}\)
z Cauchego wyjdzie 1, wiec probuje z d'Alamberta - też wyszło 1 - jak to zrobić - kryterium porównawczym nie mam pomysłu
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }
\left( \frac{4n+1}{4n+5} \right) ^{2} \cdot \left( \frac{\left( 4n+1\right) ^{2} }{(4n+5) \cdot (4n-3)} \right) ^{2n}=\left( \frac{4n+1}{4n+5} \right) ^{2} \cdot \left( \frac{16 n^{2} +8n+1}{16n^{2}+8n-15} \right) ^{2n}=
\left( \frac{4n+1}{4n+5} \right) ^{2} \cdot \left( 1+ \frac{16}{16n^{2}+8n-15} \right) ^{2n}=\left( \frac{4n+1}{4n+5} \right) ^{2} \cdot\left( \left( 1+ \frac{16}{16n^{2}+8n-15} \right) ^{ \frac{16n^{2}+8n-15}{16}} \right)^{ \frac{2n \cdot 16}{16n^{2}+8n-15} }=\left( \frac{4n+1}{4n+5} \right) ^{2} \cdot \left( e\right) ^{0}=1}\)

A próbowałeś sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregu?

Wyszło mi <1 bo\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{4n-3}{4n+1} \right) ^{2n}=\left( 1+ \frac{-4}{4n+1} \right) ^{2n}=\left( \left( 1+ \frac{-4}{4n+1} \right)^{ \frac{4n+1}{-4} } \right) ^{ \frac{2n \cdot (-4)}{4n+1} }=e^{ \frac{2n \cdot (-4)}{4n+1}=e^{-2}}\)

No nieszczególnie, gdyż wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{e^2}}\).

Ok, to jest rozbieżny bo nie jest spełniony warunek zbieżności szeregu. Pomyliło mi się, myślałem że ma być <1 a ma być ==0.