Matematyka.pl

Znajdz baze przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\), w której wektor \(\displaystyle{ u = [0,-1,2,0]}\) ma wszystkie wspolrzedne rowne 1.

Moj problem polega na tym ze wychodzi mi 2 razy wektor zerowy, jak to rozwiazac aby wymiar bazy byl 4, i czy w ogole musi byc = 4?

\(\displaystyle{ (1, 1, 0, 0)}\), \(\displaystyle{ (-1, -2, 0, 0)}\), \(\displaystyle{ (0,0,1,-1)}\), \(\displaystyle{ (0,0,1,1)}\).

no ok, ale jak to wyznaczyłeś? najpier znalazłeś te 2 niezerujace sie a potem ta baze uzupelniles dwoma liniowo niezależnymi? jak je znaleźć :/ ?

Pokaż jak liczyłeś

Mój pomysł polegał na podstawieniu delikatnie zmodyfikowanej bazy kanonicznej tzn:

\(\displaystyle{ (0,-1,2,0)=1(a,0,0,0)+1(0,b,0,0)+1(0,0,c,0)+1(0,0,0,d)}\)

I tutaj uzykuję współczynniki \(\displaystyle{ \begin{cases} b=-1 \\ c=2 \end{cases}}\)

Współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\) zerują mi się zatem, nie moga być w bazie. Więc wymyśliłem że te 2 wektory \(\displaystyle{ (0,-1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,0,2,0)}\) moge uzupełnić jeszcze 2 liniowo niezależnymi wektorami aby dostać baze? DObrze rozumuję? Jesli te 2 powyższe wektory są lin. niezal. to czy moge je uzupełnić 2 innymi lin niezal. i bede miał baze (ale czy te 2 beda lin. niezal. z tymi dwoma nowymi?!)? I jak w ogole dobrać tutaj 2 nowe wektory? Prosze o pomoc :/

Metoda "patrzę i widzę". Widać, że nie można zmodyfikować bazy kanonicznej, więc trzeba brać inne wektory, dlatego wziąłem coś z dwoma współrzędnymi i dobrałem drugi tylko z dwoma, aby odpowiednio się "doliczyły", tak samo z dwoma kolejnymi.