Matematyka.pl

Zadanie: Ze wszystkich stożków o danej tworzącej l wybrać ten, który ma największą objętość.
Umiem to rozwiązać korzystając z tw. Pitagorasa tj. \(\displaystyle{ r^{2}= l^{2}-h ^{2}}\)
Próbuję drugim sposobem ale gdzieś jest błąd - niech kąt pomiędzy tworzącymi to \(\displaystyle{ 2 \beta}\). Wówczas \(\displaystyle{ r=\sin \beta \cdot l}\) a \(\displaystyle{ h=\cos \beta \cdot l.}\) \(\displaystyle{ V= \frac{\pi \cdot r^{2} \cdot h/ }{3}
V= \frac{ \pi \cdot l^{3} \cdot \sin \beta ^{2} \cdot \cos \beta }{3}}\)
liczę pochodną z \(\displaystyle{ \left( \sin \beta \right) ^{2} \cdot \cos \beta =2 \cdot \sin \beta \cdot \frac{1}{\cos \beta } \cdot \cos \beta + \sin \beta ^{2} \cdot \frac{-1}{\sin \beta } =\sin \beta}\)
Wychodzi mi, że V jest największe przy \(\displaystyle{ \beta = \frac{\pi}{2}}\)bo wtedy \(\displaystyle{ \sin \beta}\) jest największe co jest oczywiście bzdurą.

Źle policzyłeś pochodną.
\(\displaystyle{ \left(\sin^2\beta\cos\beta\right)'=2\sin\beta\cos\beta\cos\beta+\sin^2\beta(-\sin\beta)=
2\sin\beta\cos^2\beta-\sin^3\beta}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \beta \cdot \cos \beta ^{2}-(\sin \beta ) ^{3}=\sin \beta (3 \cdot (\cos \beta )^{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = \sqrt{ \frac{1}{3} }}\)
Dzięki, pomyliłem wzory.