Matematyka.pl

Wyznacz, jeśli istnieje, granicę funkcji:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \left( \frac{3 ^{ \frac{1}{x ^{2} } } +4 ^{ \frac{1}{x ^{2} } } } {2} \right) ^{x ^{2} }}\)

Poproszę o wskazówki.

Nie jest to konieczne, ale dla mniejszej ilości pisania podstawmy \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}=t}\), wtedy nasza granica to:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\left( \frac{3^t+4^t}{2}\right)^ {\frac{1}{t}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}e^{\ln \left( \frac{3^t+4^t}{2}\right)^ {\frac{1}{t}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{1}{t}\ln \left( \frac{3^t+4^t}{2}\right) }}\)

Wystarczy zatem obliczyć granicę wykładnika, a to robi się prosto z reguły de l'Hospitala.

Można też bez tej reguły, jeśli jest taka potrzeba.

Q.