Matematyka.pl

Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \varphi : G \rightarrow H}\) jest monomorfizmem, to dla każdego elementu \(\displaystyle{ x \in G}\), \(\displaystyle{ o(x)=o(\varphi(x))}\).

Z góry dziękuję za pomoc

Zauważ, że \(\displaystyle{ \varphi}\) jest izomorfizmem na swój obraz, więc zachowuje rzędy elementów.

Podchodząc do sprawy nazbyt pedantycznie możemy przeprowadzić takie rozumowanie:

Jest jasne, że dla dowolnego homomorfizmu \(\displaystyle{ o(\varphi(x))\leqslant o(x)}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ o(x)=k}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}}\). Gdyby \(\displaystyle{ o(\varphi(x)) = n<k}\), tzn. \(\displaystyle{ (\varphi(x))^n = 1}\), to wówczas \(\displaystyle{ 1=(\varphi(x))^n = \varphi(x^n)}\) a z różnowartościowości, \(\displaystyle{ x^n = 1}\), tj. \(\displaystyle{ o(x)\leqslant n<o(x)}\), sprzeczność.