Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których wielomian ten nie ma pierwiastków.

\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +mx ^{2} +m ^{2} -m}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \Delta=-3m(m+ \frac{4}{3} )<0}\)

\(\displaystyle{ m _{1} =0 \cup m _{2} =- \frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ m \in (- \infty , - \frac{4}{3} ) \cup (0, + \infty )}\)

Dalej trzeb pokombinować coś ze wzorami Viete'a tylko nie wiem dlaczego, może ktoś to przybliżyć?

Zrób podstawienie: \(\displaystyle{ x^2=t \ge 0}\) i skup się na 'nowym' wielomianie \(\displaystyle{ t^2+mt+m^2-m}\), który:

• albo ma nie mieć pierwiastków (wtedy wielomian ze zmienną \(\displaystyle{ x}\) też nie będzie miał pierwiastków)
• albo ma pierwiastki ujemne (wtedy wielomian ze zmienną \(\displaystyle{ x}\) nie będzie miał pierwiastków)

Zrobiłem, ale wynik mam zły tzn:

\(\displaystyle{ x=t ^{2} \ge 0}\)

Ze wzorów Viete'a:

\(\displaystyle{ t _{1} +t _{2} =-m<0}\)

\(\displaystyle{ t _{1} t _{2} = m ^{2} -m>0}\)

\(\displaystyle{ m>0}\)

\(\displaystyle{ m(m-1)>0}\)

\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,0) \cup (1,+ \infty )}\)

Zatem wychodzi mi, że

\(\displaystyle{ m \in (1,+ \infty )}\)

W odpowiedziach jest jednak, że \(\displaystyle{ m \in (6,+ \infty )}\)

Gdzie robię błąd?

Sprawdziłeś dla przypadku ujemnych rozwiązań, ale zabrakło jeszcze warunku \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\). Natomiast jeszcze jest przypadek dla \(\displaystyle{ \Delta<0}\). I ponadto delta: \(\displaystyle{ \Delta=-3m(m- \frac{4}{3} )}\)

\(\displaystyle{ m \in (6,+ \infty )}\) to nie może być ostateczna odpowiedź do całego zadania. Bo np. dla \(\displaystyle{ m=-1}\) wielomian też nie ma miejsc zerowych.

to ja już kompletnie nie wiem jak to policzyć

No to od początku :

1) Wielomian z (t) nie ma pierwiastków - pokaż jak robisz.

No więc tak:

\(\displaystyle{ x ^{2} =t \ge 0}\)

Po podstawieniu

\(\displaystyle{ t ^{2} +mt +m ^{2} -m}\)
\(\displaystyle{ \Delta = m ^{2}-4m ^{2} +4m=-3m ^{2} +4m \ge 0}\)

Wzory Viete'a

\(\displaystyle{ t _{1} +t _{2} = \frac{-b}{a} \Rightarrow t _{1} +t _{2} =-m<0 \Rightarrow m>0}\)

\(\displaystyle{ t _{1} t _{2} = \frac{c}{a} \Rightarrow t _{1} t _{2} =m ^{2} -m>0 \Rightarrow m(m-1)>0}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,0) \cup (1,+ \infty )}\)

No i teraz wyznacz część wspólną tych dwóch zbiorów rozwiązań oraz delty. To będzie koniec pierwszego przypadku, dla pierwiastków ujemnych. Potem jeszcze rozwiąż przypadek dla ujemnej delty i wyznacz sumę zbiorów pierwszego i drugiego przypadku, to będzie ostateczne rozwiązanie.

no tak, tylko że dla delty ujemnej jest tak:

\(\displaystyle{ \Delta=m(-3m-4)<0}\)

Więc:

\(\displaystyle{ m=0 \cup m= - \frac{4}{3}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,- \frac{4}{3}) \cup (0,+ \infty )}\)

Część wspólna:

\(\displaystyle{ m \in (1,+ \infty )}\)

W odpowiedziach jest jednak
\(\displaystyle{ (6,+ \infty )}\)
Widzicie gdzieś błąd?

Trochę bałagan się zrobił.
Pierwsza klamerka dla przypadku nieujemnej delty i ujemnych pierwiastków, drugi zbiór dla przypadku ujemnej delty. W pierwszej klamerce szukasz części wspólnej. Później dwa przypadki są połączone alternatywą, więc szukasz sumy zbiorów.
I. \(\displaystyle{ \begin{cases} m \in \left\langle 0; \frac{4}{3} \right\rangle \\ m \in \left( - \infty ;0\right) \cup \left( 1;+ \infty \right) \\ m>0 \end{cases}}\)

II. \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ;0\right) \cup \left( \frac{4}{3};+ \infty \right)}\)

baklazan9494 pisze:no tak, tylko że dla delty ujemnej jest tak:

\(\displaystyle{ \Delta=m(-3m-4)<0}\)

Tu robisz błąd:
\(\displaystyle{ \Delta=m(-3m\red + \black 4)<0}\)

baklazan9494 pisze: W odpowiedziach jest jednak
\(\displaystyle{ (6,+ \infty )}\)
Widzicie gdzieś błąd?

Najwyraźniej w odpowiedziach jest błąd.

Ok, czyli odpowiedź końcowa to \(\displaystyle{ m \in ( \frac{4}{3}, + \infty )}\) tak?

Nie. Co otrzymałeś z pierwszego przypadku, a co z drugiego?

\(\displaystyle{ \Delta <0}\)

\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,0) \cup ( \frac{4}{3}, + \infty )}\)

\(\displaystyle{ \Delta>0}\)

\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,0) \cup (1,+ \infty )}\)

ale \(\displaystyle{ m>0}\) więc \(\displaystyle{ m \in (1,+ \infty )}\)

Zatem wyszło mi, że część wspólna to:

\(\displaystyle{ m \in ( \frac{4}{3}, + \infty )}\)

W drugim przypadku, dla nieujemnej delty w ogóle nie rozwiązałeś warunku na deltę. Piszesz, że \(\displaystyle{ \Delta \red \ge \black 0}\) i co z tego wynika? Rozwiąż ten warunek i dopiero wtedy szukaj części wspólnej.

Oj przepraszam, tak więc z warunku, że \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) wynika, że
\(\displaystyle{ m \in \left\langle 0, \frac{4}{3}\right\rangle}\)
I co z tym teraz zrobić?