Matematyka.pl

1)Rozwiąż równianie różnicowe

\(\displaystyle{ a _{k+2}-6a _{k+1}+9a _{k}=0}\)
\(\displaystyle{ a _{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=0}\)

równanie charak:
\(\displaystyle{ \lambda ^{2}-6\lambda+9=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=36-36=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1,2}=3}\)

\(\displaystyle{ a _{k}=(A+Bk)3 ^{k}}\) rozwiązanie ogólne

uwzględniając:
\(\displaystyle{ a _{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=0}\)

\(\displaystyle{ (A+B0)3 ^{0}=1}\)
\(\displaystyle{ (A+B)3=0}\)

\(\displaystyle{ A=1}\)
\(\displaystyle{ B=- \frac{1}{3}}\)

czyli
\(\displaystyle{ a _{k}=(1- \frac{1}{3}k)3 ^{k}}\) rozwiązanie szczególne

?czy to jest poprawnie?

2)Rozwiąż równianie różnicowe

\(\displaystyle{ a _{k+2}-4a _{k+1}+4a _{k}=2 ^{k}}\)

najpierw rozwiązujemy:
\(\displaystyle{ a _{k+2}-4a _{k+1}+4a _{k}=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda ^{2}-4\lambda+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16-16=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1,2}=2}\)

\(\displaystyle{ a_{k}=(A+Bk)2 ^{k}}\)

i teraz nie wiem czy dobrze robię:

podstawiam wyliczone \(\displaystyle{ a _{k}}\) do \(\displaystyle{ a _{k+2}-4a _{k+1}+4a _{k}=2 ^{k}}\)
czyli:

\(\displaystyle{ (A+B(k+2))2 ^{k+2}-4(A+B(k+1))2 ^{k+1}+4(A+Bk)2 ^{k}=2 ^{k}}\)
??

Zauważ ,że wyrazy wolne (bez \(\displaystyle{ k}\) ) się wyzerują.

hm nie wiem czy coś źle podstawiłam ale wszystko mi się zeruje.. : /

Cosinusoida89sonia pisze:1)Rozwiąż równianie różnicowe

\(\displaystyle{ (A+B0)3 ^{0}=1}\)
\(\displaystyle{ (A+B)3=0}\)

\(\displaystyle{ A=1}\)
\(\displaystyle{ B=- \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ A}\) jest OK, ale teraz podstawiając do drugiego mamy \(\displaystyle{ \left( 1+B\right) \cdot 3=0 \Longrightarrow B+1=0 \Longrightarrow B=-1}\) nieprawdaż?

faktycznie dzięki

ale bardziej chodzi mi czy metodyka jest ok. czy oprócz tego małego błędu wszytsko jest ok

Nie znam się na tych metodach niestety, mogę ci tylko zaproponować rozwiązanie przy użyciu funkcji tworzących, jakieś tam pewnie analogie między tymi dwoma podejściami muszą być. A jak nie, to chociaż będziesz miała poprawne rozwiązanie.

Będzie łatwiej, jeśli przepiszemy twoją rekurencję tak: \(\displaystyle{ a_k=4a_{k-1}-4a_{k-2}+2^{k-2}}\). Wtedy funkcją tworzącą definiowanego przez nią ciągu będzie:

\(\displaystyle{ A(x)=a_0+a_1x+ \sum_{k \ge 2}\left( 4a_{k-1}-4a_{k-2}+2^{k-2}\right) x^k
= a_0+a_1x+ 4x\left( \sum_{k \ge 0} a_kx^k-a_0\right) -4x^2\left( \sum_{k \ge 0} a_kx^k\right) +x^2 \sum_{k \ge 0} 2^kx^k
=a_0+a_1x+4xA(x)-4xa_0-4x^2A(x)+\frac{x^2}{1-2x}}\)

\(\displaystyle{ A(x)\left( 1-4x+4x^2\right) = a_0+\left( a_1-4a_0\right) x +\frac{x^2}{1-2x}}\)

Po rozkładzie na ułamki proste mamy:
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{k \ge 0} \left( \frac{ \frac{1}{4} }{\left( 1-2x\right)^3 } + \frac{- \frac{1}{2}-a_0+ \frac{a_1}{2} }{\left( 1-2x\right)^2 } + \frac{ \frac{1}{4}+2a_0- \frac{a_1}{2} }{1-2x} \right) x^k}\)

Stąd postać jawna to:
\(\displaystyle{ a_k = \frac{1}{4} \cdot 2^k \cdot \frac{\left( k+1\right) \left( k+2\right) }{2} +
\left( - \frac{1}{2}-a_0+ \frac{a_1}{2} \right) 2^k \left( k+1\right) +
\left( \frac{1}{4}+2a_0- \frac{a_1}{2} \right) 2^k = \\
= \text{tu nie chce mi się przepisywać kilku linijek bazgrołów} = \\
= 2^{k-3}\left( 8a_0\left( 1-k\right) +4a_1k+k^2-k\right)}\)