Matematyka.pl

Czy wie ktoś może jak zachowuje się rząd elementu przy przenoszeniu przez epimorfizm? Przypuszczam, że się zmienia, ale nic więcej nie wiem. Gdyby to był homomorfizm, to rząd pozostawałby ten sam, a więc możliwe, że to ten brak iniekcji wszystko psuje... Jeśli tak, to w jaki sposób?

[ Dodano: 24 Kwiecień 2007, 12:38 ]
Gdyby kogoś to interesowało to napisze czego się już dowiedziałam
Otóż rząd się NIE zmienia przy przenoszeniu przez epimorfizm, zaś przy przenoszeniu przez homomorfizm ulega zmianie (najprawdopodobniej przyczyna tkwi gdzieś w równoliczności).

Ilorazy grup w których każdy niezerowy element ma nieskończony rząd mogą być skończone. Na przykład, każdy nietrywialny iloraz \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) jest skończony. Niech \(\displaystyle{ h\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}\) będzie kanonicznym epimorfizmem. Element \(\displaystyle{ 1\in \mathbb{Z}}\) ma rząd nieskończony, ale \(\displaystyle{ h(1)}\) jest rzędu 2.

Jeżeli \(\displaystyle{ h\colon G\to H}\) jest homomorfizmem, to rząd \(\displaystyle{ h(x)}\) dzieli rząd \(\displaystyle{ x}\). Istotnie, jeżeli \(\displaystyle{ x^n=1}\), to również \(\displaystyle{ h(x)^n = 1}\), czyli rząd \(\displaystyle{ h(x)}\) nie jest większy od rzędu \(\displaystyle{ x}\).

Rozważmy przypadek kiedy rząd \(\displaystyle{ h(x)}\) jest skończony. Gdy rząd \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończony, to nie ma czego pokazywać, więc założmy, że \(\displaystyle{ x}\) jest rzędu \(\displaystyle{ n}\). Twierdzimy, że istnieje takie \(\displaystyle{ m}\) iż \(\displaystyle{ km=n}\). Gdyby nie istniało, to o ile tylko \(\displaystyle{ n = km+r}\) dla \(\displaystyle{ r\neq 0}\), mielibyśmy \(\displaystyle{ x^{km}x^r = 1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ r<k}\) mamy

\(\displaystyle{ 1 = h(1) = h(x^{km})h(x^r) = h(x^{k})^m h(x^r) =1^m h(x^r) = h(x)^r}\),

czyli sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ k}\) jest rzędem \(\displaystyle{ h(x)}\).