Matematyka.pl

Dobry wieczór. Może niepotrzebnie to piszę, ale dostałem jedynkę ze sprawdzianu z rachunku prawdopodobieństwa i poczułem chęć by zrozumieć to i poprawić, zacząłem od zadania, które było na sprawdzianie. I chciałbym się zapytać czy jest dobrze obliczone. Są jeszcze inne zadania, które chciałbym rozwiązać (3) i które chciałbym żeby zostały sprawdzone, jednak na razie chciałbym wiedzieć czy to jedno jest dobrze rozwiązane i móc poczuć satysfakcję, że rozwiązałem, lub nie rozwiązałem, je sam. Jeżeli nie będzie to problemem to chciałbym każde kolejne zadania wklejać tutaj...

Zadanie nr 1:
Rzucamy kostką i monetą. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom:
\(\displaystyle{ A}\) - wypadła reszka i co najwyżej \(\displaystyle{ 4}\) oczka,
\(\displaystyle{ B}\) - wypadł orzeł i co najmniej \(\displaystyle{ 5}\) oczek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń \(\displaystyle{ P(A), P(B')}\) i \(\displaystyle{ P(A\cup B)}\).

Rozwiązanie:

rzucamy 1. raz kostką
rzucamy 1. raz monetą

\(\displaystyle{ A}\) - wypadła reszka i tyle samo lub mniej niż \(\displaystyle{ 4}\) oczka
\(\displaystyle{ B}\) - wypadł orzeł i nie mniej niż \(\displaystyle{ 5}\) lub tyle samo oczek

\(\displaystyle{ P (A) = ? ; P(B’) ; P(A \cup B) = ?\\
\overline{\overline{\Omega}} = 6 \cdot 2 = 12\\
A = \left\{ (R, 1), (R, 2) , (R, 3) , (R, 4)\right\} ; \\
B = \left\{ (O, 5), (O, 6)\right\} \\
\left| A\right| = 4 ; \left| B\right| = 2\\
P(A) = \left| A\right| : \overline{\overline{\Omega}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\\
P(B) = \left| B\right| : \overline{\overline{\Omega}} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\\
P(B’) = 1 - P(B) = 1 - \frac16 = \frac56\\
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}}\)

/edit

Zadanie nr 2:
Wrzucamy \(\displaystyle{ 7}\) ponumerowanych kul do \(\displaystyle{ 8}\) ponumerowanych szuflad. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że każda kula będzie w innej szufladzie.

Nie wiem do końca czy dobrze zrozumiałem to zdanie...

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 7! = 5040}\)
(ponieważ każda kula musi być w innej szufladzie)

\(\displaystyle{ A = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}}\)
(wszystkie dostępne kule)

\(\displaystyle{ \left| A \right| = 7 \\
P(A) = \left| A \right| : \overline{\overline{\Omega}} = \frac{7}{5040}}\)

Jest ok.

Lbubsazob pisze:Jest ok.

Jezu, jak się cieszę. Dziękuję za odpowiedź!

/edit
Dodałem kolejne zadanie.

W zad. 2 kolejność kul ma znaczenie i kule nie mogą się powtarzać, więc stosujesz wariacje bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ \left| A\right|= \frac{8!}{(8-7)!} =8!}\)
Natomiast wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ \left| \Omega\right| =8^7}\).
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{8!}{8^7}= \frac{7!}{8^6}}\)

rygu953 pisze:Zadanie nr 2:
Wrzucamy 7 ponumerowanych kul do 8 ponumerowanych szuflad. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że każda kula będzie w innej szufladzie.

Nie wiem do końca czy dobrze zrozumiałem to zdanie...

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 7! = 5040 \ (ponieważ \ kazda \ kula \ musi \ byc \ w \ innej \ szufladzie)}\)

Nie, chcemy wiedzieć, na ile sposobów można rozmieścić kule w szufladach. Zdarzeniami sprzyjającymi są te rozkłady, w których każda kula jest w innej szufladzie, ale przecież to nie są jedyne możliwe rozkłady.

Ponieważ wszystko jest ponumerowane, to wystarczy zastanowić się, na ile sposobów możemy sporządzić „wykaz”, która kula wpadła do której szuflady. Każda może wpaść do jednej z ośmiu, a kul jest siedem, czyli mamy \(\displaystyle{ 7}\) numerów w zakresie \(\displaystyle{ \left\langle 1;8\right\rangle}\) czyli \(\displaystyle{ 8^7}\) wszystkich możliwych układów.

Liczba układów, w których każda kula jest w innej szufladzie to liczba takich „wykazów”, w których numery szuflad się nie powtarzają, czyli liczba ciągów o długości \(\displaystyle{ 7}\) składających się z różnych elementów z zakresu \(\displaystyle{ \left\langle 1;8\right\rangle}\). Na pierwszym miejscu możemy mieć \(\displaystyle{ 8}\) różnych liczb, na drugim \(\displaystyle{ 7}\) itd. — a miejsc mamy \(\displaystyle{ 7}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{8!}{\left( 8-7\right)! }=8!}\).

Szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{8!}{8^7} = \frac{7!}{8^6} \approx 0,019}\).

\(\displaystyle{ 8^{7}}\) - czyli, że mamy 7 kul i każda z nich może być umieszczona na 8 sposobów.
8 razy ponieważ 8 szuflad.
\(\displaystyle{ 8!}\) - czyli, że na pierwszym miejscu możemy wsadzić kule do każdej z 8 szuflad, na drugim też czy już nie? Bo jest napisane, że każda kula ma być w innej szufladzie. Ale może chodzi oto, że rozpatrujemy to w taki sposób, że kula nr 1 może być w KAŻDEJ szufladzie, dlatego 8, ponieważ może być tylko raz w 1. szufladzie, ale i przecież może być 2. szufladzie też raz itp.
Wydaje mi się, że oto właśnie chodzi, ale nie jestem pewien? Przepraszam, że być może to co napisałem jest bezsensowne, ale próbuję to zrozumieć...

Albo jednak nie... bo przecież 8! to jest \(\displaystyle{ 8 \cdot 7 \cdot 6}\)... więc raczej ta pierwsza myśl jest prawdziwa.

\(\displaystyle{ \left| A\right| =8!}\), bo pierwszą kulę możesz umieścić w jednej z 8 szuflad, drugą w jednej z 7 (jedna szuflada już odpadła, bo każda kula ma być w innej szufladzie), trzecią w jednej z 6 itd. Stąd mamy \(\displaystyle{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2=8!}\).

Natomiast wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 8^7}\), bo pierwszą kulę możesz umieścić w jednej z 8 szuflad, tak samo drugą, trzecią, itd. Tutaj liczymy, ile jest takich możliwości, ale bez założenia, że każda kula ma być w innej szufladzie. Stąd \(\displaystyle{ 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8=8^7}\).

Jeszcze do pierwszego krótka uwaga ( każdy punkt na wagę złota). Nie zapomnij wspomnieć o rozłączności.

Lbubsazob pisze:\(\displaystyle{ \left| A\right| =8!}\), bo pierwszą kulę możesz umieścić w jednej z 8 szuflad, drugą w jednej z 7 (jedna szuflada już odpadła, bo każda kula ma być w innej szufladzie), trzecią w jednej z 6 itd. Stąd mamy \(\displaystyle{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2=8!}\).

Natomiast wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 8^7}\), bo pierwszą kulę możesz umieścić w jednej z 8 szuflad, tak samo drugą, trzecią, itd. Tutaj liczymy, ile jest takich możliwości, ale bez założenia, że każda kula ma być w innej szufladzie. Stąd \(\displaystyle{ 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8=8^7}\).

Ach dziękuję bardzo, teraz już wszyssko jest jasne! Dziękuję jeszcze raz.

Kartezjusz pisze:Jeszcze do pierwszego krótka uwaga ( każdy punkt na wagę złota). Nie zapomnij wspomnieć o rozłączności.

Rzeczywiście, masz rację, powinienem był o tym wspomnieć, wyrazić symbolami. Dziękuję za uwagę.