Matematyka.pl

Wyznacz największą wartość funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=x^{2} \sqrt{1-x^{2}} \wedge x \in \left\langle -1;1\right\rangle}\)
Gdzie to ugryźć?

Funkcja może mieć największą wartość w którymś ze swoich lokalnych maksimów, lub na brzegach przedziału.

Na brzegach, czyli dla x=-1, oraz dla x=1 funkcja przyjmuje wartości 0.

Lokalne maksimum jest tam, gdzie
\(\displaystyle{ \frac{df(x)}{dx} = 0}\) oraz pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny.

\(\displaystyle{ \frac{df(x)}{dx} = \frac{2x - 3x^3}{\sqrt{1-x^2}}}\)

Lokalne maksimum występuje więc w \(\displaystyle{ x = \sqrt{\frac{2}{3}}}\), oraz \(\displaystyle{ x = -\sqrt{\frac{2}{3}}}\)

Wartość funkcji w obu tych punktach wynosi \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{3\sqrt{3}}}\) i to jest wartość, którą należy wyznaczyć w zadaniu.

Ok, wszystko ok, tylko właśnie zapomniałem dodać, że to musi być na poziomie obecnego liceum I klasy...

Jeśli uznamy, że nierówność między średnimi jest na poziomie liceum, to możemy skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}}\)

Mamy z niej:
\(\displaystyle{ x^2\sqrt{1-x^2}= 2\cdot \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{1-x^2}\le
2\cdot \left( \sqrt{\frac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{2} + (1-x^2)}{3}}\right)^3=\frac{2\sqrt{3}}{9}}\)
przy czym równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-x^2}}\) czyli dla \(\displaystyle{ x=\pm \sqrt{\frac 23}}\).

Q.