Matematyka.pl

Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej \(\displaystyle{ z\left( x,y\right)}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} =1}\)
Mój problem polega na tym, że nie mam pojęcia jak wyliczyć \(\displaystyle{ z' _{x}}\) i \(\displaystyle{ z' _{y}}\)

Według moich obliczeń

\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x}=-\left(\frac{y}{xy-x-y}\right)^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial y}=-\left(\frac{x}{xy-x-y}\right)^2}\)

A mogłabym prosić jak do tego doszedłeś ?

monn933 pisze: Mój problem polega na tym, że nie mam pojęcia jak wyliczyć \(\displaystyle{ z' _{x}}\) i \(\displaystyle{ z' _{y}}\)

Załóż, że \(\displaystyle{ z=z(x,y)}\) i zróżniczkuj wyrażenie stronami najpierw po \(\displaystyle{ x}\), potem po \(\displaystyle{ y}\). Dostaniesz układ dwóch równań, z których wyznaczysz żądane pochodne.

Tym sposobem wychodzi mi to rtuszyns napisał, ale znowu nie wychodzi mi wynik z zadania, który robiłam na uczelni.
Jaka jest różnica pomiędzy :
1) \(\displaystyle{ xy+ yz+ zx=3}\)
\(\displaystyle{ y+ yz' _{x} + z' _{x}x +z=0}\)
\(\displaystyle{ z' _{x}= \frac{-y-z}{y+x}}\)
a :
2) \(\displaystyle{ xy+yz+zx=3}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{3-xy}{x+y}}\)
\(\displaystyle{ z' _{x} = \frac{-y ^{2}-3 }{\left( x+y\right) ^{2} }}\)
?