Matematyka.pl

Cześc!

Mam sprawdzić czy \(\displaystyle{ \left( X, d\right)}\) jest przestrzenią metryczną jeśli \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}^2}\) i \(\displaystyle{ d(x,y)= \mathop{\max}_{i=1\ldots n} \left| x_i - y_i\right|}\)

Jak zawsze, pierwsze dwa warunki są trywialne. Wszystko tu wynika z własności wartości bezwględnej. Mam natomiast problem z trzecią własnością. Zrobiłem jakoś, ale nie wiem czy jest dobrze, dlatego proszę o sprawdzenie : )

\(\displaystyle{ d(x,z)= \mathop{\max}_{i=1\ldots n} \left| x_i - z_i\right|=\mathop{\max}_{i=1\ldots n} \left| x_i - y_i + y_i - z_i\right| \le \mathop{\max}_{i=1\ldots n} \left| x_i - y_i\right| + \mathop{\max}_{i=1\ldots n} \left| y_i - z_i\right|}\)

Nie wiem czy dobrze na koniec rozdzieliłem tego maxa. Przyznam szczerze, że końcówke zrobiłem tak żeby wyszło : )

Dobrze. Sprawdź, że \(\displaystyle{ \max(A+B)\le\max(A)+\max(B)}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B}\) to jakieś dowolne podzbiory \(\displaystyle{ \RR}\).

Oczywiście dla \(\displaystyle{ a\in A}\), \(\displaystyle{ b\in B}\) mamy \(\displaystyle{ a\le\max(A)}\), \(\displaystyle{ b\le\max(B)}\), więc \(\displaystyle{ a+b\le\max(A)+\max(B)}\). Po przejściu do maksimum dostajemy żądaną nierówność.

Przypadkiem Ci ją udowodniłem. Chciałem zostawić rzekomo trudniejszy dowód "w drugą stronę", ale tu żadnej równości nie ma. No więc wskaż przynajmniej przykład na zachodzenie nierówności silnej

Jest jeszcze po drodze do wykorzystania nierówność trójkąta dla modułu - ale to w odpowiednim miejscu

szw1710, dziękuję Panu bardzo! Mam jeszcze pytanie odnośnie metryki maksimum w \(\displaystyle{ {\mathbb{R}}^2}\). Jak wygląda kula w tej metryce? Wiem, że to będzie kwadrar, ale zupełnie nie wiem jak to pokazać. Nie miałem tego jeszcze na zajęciach, a chciałbym się przygotować. W sieci mnóstwo kul w różnych przestrzeniach metrycznych, ale nigdzie ani słowa jak to powstało.

Wyznacz \(\displaystyle{ K\bigl((0,0);1\bigr)}\).

szw1710, jeszcze jedno. Mówi Pan "...po przejściu do maksimum...". Co to dokładnie oznacza? Przystawienie do lewej i prawej znaku maksimum?

Dla każdych \(\displaystyle{ a\in A,\;b\in B}\) masz nierówność \(\displaystyle{ a+b\le c}\) dla jekiejś liczby \(\displaystyle{ c}\). Więc także i element największy spełnia tę nierówność, skoro każdy ją spełnia. Więc \(\displaystyle{ \max(A+B)\le c}\). To oznacza przejście do maksimum. Tak samo jak przejście do granicy itp.

Trochę kiepsko. Nieco konkretniej.

szw1710, dziękuję.

-- 31 paź 2013, o 22:36 --

szw1710, spodziewam się , że gdzieś mam wstawić punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\).

-- 31 paź 2013, o 22:54 --

\(\displaystyle{ K\bigl((0,0);1\bigr)= \left\{ (x,y) \in {\mathbb{R}}^2 | \max\left\{ \left|y_1\right|, \left| y_2\right| \right\}<1 \right\}}\)

Teraz ok?

-- 1 lis 2013, o 13:19 --

szw1710, ok. Już wszystko jasne ! Przespałem się z tym i zrozumiałem. Aczkolwiek, nadal nie umiem tego zapisać tak matematycznie. Intuicja mówi, że to będzie kwadrat o boku długości \(\displaystyle{ 2}\), a jego przekątne przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).