Matematyka.pl

Rzucamy monetą dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p aż do momentu gdy uzyskamy n orłów łącznie niekoniecznie pod rząd. Niech \(\displaystyle{ X_{p}}\) oznacza liczbę rzutów. Udowodnij, że \(\displaystyle{ (( \frac{2}{m}X_{ \frac{1}{m} )} )_{m=1}^{+\infty}}\) jest zbieżny wg rozkładu. Zinterpretuj granicę, gdy n=1.

Zadanie jest fatalnie sformułowane.

Wytłumacz, Proszę, dlaczego.

\(\displaystyle{ X_p}\) oznacza liczbę orłów a wcześniej napisałaś że kończymy rzucać gdy mamy n orłów.

Miałeś rację, poprawiłam nieścisłość w zadaniu, dziękuję za słuszną uwagę

Zaczniemy od obliczenia gęstości \(\displaystyle{ X_p}\), wg mnie jest to \(\displaystyle{ P(X_p=k)={k-1 \choose n-1}p^n(1-p)^{k-n}}\), popraw mnie jeśli się mylę

Wobec tego funkcja charakterystyczna jest \(\displaystyle{ \phi_{X_p}(t)=Ee^{itX_p}=\sum_{k}e^{itk}{k-1 \choose n-1}p^n(1-p)^{k-n}}\)

Rozpoznajemy tutaj po prawej stronie znany wzór na rozwinięcie Taylora wokół zera funkcji \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{1-x}\right)^n=\sum_{k}x^k{k-1 \choose n-1}}\), zastosuj go dla \(\displaystyle{ x=e^{it}(1-p)}\)

Po przekształceniach otrzymamy coś takiego: \(\displaystyle{ \phi_{\frac{2}{m}X_{\frac{1}{m}}}(t)=\phi_{X_{\frac{1}{m}}} \left( \frac{2t}{m} \right) = \dots = \frac{\exp\left(\frac{2itn}{m}\right)}{m^n\cdot(1-\exp\left(\frac{2it}{m}\right) \cdot\frac{m-1}{m})^n}}\), co dąży punktowo do \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-2it)^n}=\left( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-it} \right)^n}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to funkcja charakterystyczna rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a tak ogólnie (jeśli dobrze pamiętam zasady mnożenia funkcji charakterystycznych) to jest funkcja charakterystyczna sumy \(\displaystyle{ n}\) niezależnych zmiennych o tym rozkładzie. Zbieżność punktowa funkcji charakterystycznych pociąga za sobą zbieżność zmiennych do tego właśnie rozkładu.

To było całkiem ciekawe zadanie. Ciekawe jest też, jak czasem można zupełnie przypadkiem spotkać w internecie kogoś znajomego

Mistrz, ubiegłeś mnie, miałem to w głowie wczoraj ale było już późno. Oczywiście zmienna \(\displaystyle{ X_p}\) to zmienna o rozkładzie dwumianowym ujemnym. Lub jak kto woli suma n zmiennych o rozkładzie geometrycznym. Oczywiście wynik jest prawidłowy, dodam tylko że zastosowano tu tw. Levy'ego-Cramera oraz, że graniczny rozkład to rozkład Gamma.

Dziękuję Bardzo za pomoc Faktycznie, zadanie ciekawe, ale niestety trudne dlatego jeszcze raz dziękuję