ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym

[leszczu450]

Cześć !

Twierdzenie z tematu jest dosyć łatwe w dowodzenie i nie zaskakuje. Jednak po co ono w ogóle jest? Do czego może służyć określenie zwartego obrazu?

Z góry dziękuję!

[Spektralny]

To twierdzenie ma wiele zastosowań, na przykład do pokazywania zwartości. Przykładowe zastosowanie:

Załózmy, że \(\displaystyle{ (K,\tau)}\) jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz na \(\displaystyle{ K}\) istnieje topologia zwarta Hausdorffa \(\displaystyle{ \sigma}\) słabsza (niemocniejsza) od \(\displaystyle{ \tau}\), tzn. \(\displaystyle{ \sigma\subseteq \tau}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sigma = \tau}\). Istotnie, identyczność

\(\displaystyle{ \mbox{id}\colon (K, \tau) \to (K,\sigma)}\)

jest ciągła oraz oczywiście na, więc każdy zbiór domknięty \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ (K,\sigma)}\) jest zwarty, jako podzbiór \(\displaystyle{ (K,\sigma)}\). Wynika stąd, że gdy \(\displaystyle{ A\subset K}\) jest \(\displaystyle{ \tau}\)-domknięty to jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-domknięty, bo zwarte podzbiory przestrzeni zwartej Hausdorffa, są domknięte. Oznacza to, że jeżeli \(\displaystyle{ U\in \tau}\), to \(\displaystyle{ K\setminus U}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ \sigma}\), czyli \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \sigma}\)! Innymi słowy, \(\displaystyle{ \sigma = \tau}\). \(\displaystyle{ \square}\)

W skrócie: zwarte topologie Hausdorffa są elementami minimalnymi w rodzinie wszystkich topologii Hausdorffa na danym zbiorze.

[yorgin]

Jak już jesteśmy przy przestrzeniach Haussdorfa, to ciągłe bijekcje przestrzeni zwartych w przestrzenie Haussdorfa są homeomorfizmami.

Ukryta treść:    

Jeżeli \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest odwzorowaniem spełniającym powyższe założenia, to dla dowolnego \(\displaystyle{ A}\) - domkniętego w \(\displaystyle{ X}\), jego obraz \(\displaystyle{ f(A)}\) jest zwarty, więc domknięty. Tym samym \(\displaystyle{ f}\) jest domkniętą ciągłą bijekcją, a więc homeomorfizmem.

[leszczu450]

Dziękuję Wam bardzo : ) Co prawda, nie miałem na wykładzie nic o przestrzeniach Hausdorffa ale i tak mniej więcej widze do czego przydaje się twierdzenie o którym wspomniałem. Nie wiem czy mój wykład jest po prostu taki ubogi czy może będe o tym wszystkim miał na topologii na trzecim roku : )