ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
leszczu450
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 362 razy

ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym

Post autor: leszczu450 » 27 paź 2013, o 18:26

Cześć !

Twierdzenie z tematu jest dosyć łatwe w dowodzenie i nie zaskakuje. Jednak po co ono w ogóle jest? Do czego może służyć określenie zwartego obrazu?

Z góry dziękuję!

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym

Post autor: Spektralny » 27 paź 2013, o 18:48

To twierdzenie ma wiele zastosowań, na przykład do pokazywania zwartości. Przykładowe zastosowanie:

Załózmy, że \(\displaystyle{ (K,\tau)}\) jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz na \(\displaystyle{ K}\) istnieje topologia zwarta Hausdorffa \(\displaystyle{ \sigma}\) słabsza (niemocniejsza) od \(\displaystyle{ \tau}\), tzn. \(\displaystyle{ \sigma\subseteq \tau}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sigma = \tau}\). Istotnie, identyczność

\(\displaystyle{ \mbox{id}\colon (K, \tau) \to (K,\sigma)}\)

jest ciągła oraz oczywiście na, więc każdy zbiór domknięty \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ (K,\sigma)}\) jest zwarty, jako podzbiór \(\displaystyle{ (K,\sigma)}\). Wynika stąd, że gdy \(\displaystyle{ A\subset K}\) jest \(\displaystyle{ \tau}\)-domknięty to jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-domknięty, bo zwarte podzbiory przestrzeni zwartej Hausdorffa, są domknięte. Oznacza to, że jeżeli \(\displaystyle{ U\in \tau}\), to \(\displaystyle{ K\setminus U}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ \sigma}\), czyli \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \sigma}\)! Innymi słowy, \(\displaystyle{ \sigma = \tau}\). \(\displaystyle{ \square}\)

W skrócie: zwarte topologie Hausdorffa są elementami minimalnymi w rodzinie wszystkich topologii Hausdorffa na danym zbiorze.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym

Post autor: yorgin » 27 paź 2013, o 19:31

Jak już jesteśmy przy przestrzeniach Haussdorfa, to ciągłe bijekcje przestrzeni zwartych w przestrzenie Haussdorfa są homeomorfizmami.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
leszczu450
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 362 razy

ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym

Post autor: leszczu450 » 27 paź 2013, o 22:37

Dziękuję Wam bardzo : ) Co prawda, nie miałem na wykładzie nic o przestrzeniach Hausdorffa ale i tak mniej więcej widze do czego przydaje się twierdzenie o którym wspomniałem. Nie wiem czy mój wykład jest po prostu taki ubogi czy może będe o tym wszystkim miał na topologii na trzecim roku : )

ODPOWIEDZ