Matematyka.pl

Znaleźć lokalne ekstrema funkcji :
1) \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= x ^{2} -2y ^{2} + 4x +6y}\)
2) \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \left( 2ax -x ^{2} \right) \cdot \left( 2by - y ^{2} \right)}\)
3) \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= xy \cdot \ln \left( x ^{2}+ y ^{2} \right)}\)
4) \(\displaystyle{ f\left( x,y\right) = x - 2y + \ln \sqrt{x ^{2} + y ^{2} } + 3 \arctan \frac{y}{x}}\)
5) \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\)
Próbowałam je rozwiązać, ale nie jestem pewna, czy dobrze bo w 1,2,4 i 5 wychodzi mi, że nie ma ekstremum, a w 3 mam problem z wyznaczeniem punktów.

Pokaż zatem swoje próby rozwiązań, to będzie można zweryfikować ich poprawność.

Q.

Jeśli chodzi o pierwszy przykład to liczę pochodne po x i y,przyrównuję do 0 i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ P\left( -2, \frac{3}{2} \right)}\).
I potem jeśli chodzi o wyznacznik to wychodzi mi \(\displaystyle{ - 8}\), a ujemny chyba nie może wyjść..

Ależ może być, bo taki wychodzi. To oznacza, że w tym (ani w żadnym innym) punkcie nie ma ekstremów.
Do czego doszłaś w trzecim?

Czyli w 1,2,4,5 nie ma ekstremów?
W 3 policzyłam pochodne i przyrównałam do 0 i stanęłam przy :
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \cdot \ln \left( x ^{2} + y ^{2} \right) + \frac{2x^{2}y}{x ^{2} + y ^{2}}=0 \\ x \cdot \ln \left( x ^{2} + y ^{2} \right) + \frac{2y^{2}x}{x ^{2} + y ^{2}}=0 \end{cases}}\)
Czy jest jakiś łatwy sposób, żeby wyznaczyć ten punkt z tego układu ?

Jak to próbowałem liczyć jakoś wprost, było niezbyt przyjemnie, ale teraz patrzę, że odejmując np. pierwsze równanie od drugiego, powinnaś dostać dość ładne przypadki.
2,4,5 nie sprawdzałem.
PS Jednak wyznaczenie tego logarytmu z pierwszego i wstawienie na pałę też nie jest wymagające, popełniłem błąd rachunkowy. Ale można odjąć jak powiedziałem, a potem podstawić za logarytm to, co wyliczysz z pierwszego.