Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x\in(0,\pi/2)}\)
\(\displaystyle{ 2^{\tan(x)}+2^{\sin(x)}>2^{x+1}}\)

Udowodnij, że nierówność zachodzi. Próbowałem robić i wychodzi mi tylko graficznie na kalkulatorze. Nie daje mi to spokoju.

Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy, że \(\displaystyle{ 2^{\tan x} + 2^{ \sin x} \geq 2 \sqrt{ 2^{ \tan x} \cdot 2^{ \sin x}}=2 \sqrt{ 2^{ \tan x+ \sin x} }=2 \cdot 2^{ \frac{ \tan x+ \sin x}{2}}}\). Wystarczy więc wykazać \(\displaystyle{ \tan x + \sin x >2x}\) w zadanym przedziale. Jedyny pomysł jaki przyszedł mi do głowy, to zastosowanie rachunku różniczkowego i wtedy łatwo się to pokazuje, lecz nie wiem, czy taki sposób Ci odpowiada. Ja osobiście chętnie poznam inny, bardziej elementarny, by dowieść tej ostatniej nierówności.