Matematyka.pl

Witam serdecznie.
Mam mały problem co do dwóch zadań. Nie potrafię wpaść na pomysł rozwiązania ich. Proszę o naprowadzenie mnie na prawidłowy tok myślenia

Zadanie 1.
Podaną liczbę zespoloną zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} \left( \sin \frac{1}{2} + j \cdot \cos \frac{1}{2} \right)}\)

Zadanie 2.
Rozwiązać podane równanie:
\(\displaystyle{ \cos x+j \cdot \sin x= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot j}\)

jeżeli
\(\displaystyle{ A) x \in R}\)

\(\displaystyle{ B) x \in C}\)-- 27 paź 2013, o 13:58 --Czy zadanie 1. można zrobić w ten sposób? Korzystałem ze wzorów Eulera.

\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} \left( \sin \frac{1}{2} + j \cdot \cos \frac{1}{2} \right)= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{e^{ \frac{j}{2} } - e^{ -\frac{j}{2} }}{2j} + j \cdot \frac{ e^{ \frac{j}{2} }+ e^{ -\frac{j}{2} } }{2} \right)}\)

co po sprowadzeniu w nawiasie do wspólnego mianownika i redukcji wyrazów dało mi odpowiedź końcową:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2j} \cdot e^{- \frac{j}{2} }}\)

jest to postać wykładnicza liczby zespolonej, z tym, że:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = - \frac{1}{2j}= \frac{ j^{2} }{2j} = \frac{j}{2}}\)

więc:

postać algebraiczna jest taka sama jak podana w zadaniu
postać trygonometryczna: \(\displaystyle{ z= \frac{j}{2} \cdot \left( \cos \left( -\frac{1}{2} \right) + j \cdot \sin \left( - \frac{1}{2} \right) \right)}\)
postać wykładnicza: \(\displaystyle{ z= \frac{j}{2} \cdot e^{ j \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) }}\)

W drugim zadaniu powinieneś zacząć od wyznaczenia kąta - jest to o tyle proste, że masz podane wartości funkcji trygonometrycznych.

Natomiast co do pierwszego - jesteś pewien, że argumentem funkcji trygonometrycznej powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a nie np. \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)?

Właśnie problem w tym, że nie wiem jak. Zamieniłem na postać trygonometryczną liczbę zespoloną po prawej stronie, ale wyszedł mi dziwny \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) z \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) w liczniku i nie potrafię tego dalej policzyć.

A w drugim zadaniu mam 100% pewności, pewnie tą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) należy traktować jako parametr.

fPorównaj części rzeczywiste i urojone. Zauważ, że masz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x = \frac{1}{2} \\ \sin x = \frac{3}{4} \end{cases}}\)
więc z tego wynika, że \(\displaystyle{ x=...?}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) ?

No nie bardzo. Podpowiedź - czy takie \(\displaystyle{ x}\) w ogóle może istnieć? I jeśli nie to dlaczego?

Nie może istnieć, ponieważ przy takich wartościach sinusa i cosinusa nie jest spełniona jedynka trygonometryczna. I mam rozumieć, że to jest odpowiedź do ppkt. B?
Jeśli chodzi o ppkt. A to wystarczy, że przyrównam tylko część rzeczywistą do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i opuszczam część urojoną?

Czy w drugim zadaniu odpowiedź b oznacza zbiór liczb całkowitych czy zespolonych? Bo jeśli zespolonych to może istnieć odpowiedź.
W pierwszym zadaniu masz podaną postać trygonometryczną. Jak ją zamienić na inne opisane jest tutaj:
page.php?p=kompendium-liczby-zespolone

Oznacza zbiór liczb zespolonych.

Boże, ja już się pogubiłem... Chyba jednak w podanej stronce nie znajdę innej niż moja odpowiedzi do zadania 1.

Jak się nie mylę dla zespolonych też działa jedynka trygonometryczna, ale na drugim miejscu masz minus.

Kartezjusz no jasne że tak, jedynka jest prawdziwa też dla argumentów zespolonych.

A co do zadania 1 to zacznij od nowa. Jak napisałem, masz podaną postać trygonometryczną. Zajrzyj na link do kompendium i tam masz napisane jak z niej zrobić pozostałe.