Matematyka.pl

Mam dany szereg wzorem i wiem, że równa się wzorowi jawnemu:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = 2^{n} \cdot (n-1) +1}\)

Musze teraz udowodnić że lewa strona równa się prawej. Doszedłem do tego, że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = 2^{n} \cdot n - 2^{n} +1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} = 2^{n} \cdot n - (2^{n} -1)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} + (2^{n} -1) = 2^{n} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1} + \sum_{k=0}^{n-1}2^{k} = 2^{n} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (k+1) \cdot 2^{k-1} = 2^{n} \cdot n}\)

Co jest prawdą (sprawdziłem), ale zaciąłem się i nie wiem jak to dalej rozpisać... Mógłby ktoś nakierować czy coś takiego?

Najprościej będzie użyć indukcji, bez żadnego przekształcania.

Tak myślałem, jednak liczyłem że da się to sensowniej rozpisać, bo zadanie polegało na wyprowadzeniu wzoru (z tego po lewej na to po prawej), zaś ja dostałem prawą stronę z wolfram'a. Cóż, jakoś będzie musiało przejść

Jeśli chcesz wzór wyprowadzić, to na to też są standardowe metody:
258562.htm
258562.htm

Można też zróżniczkować stronami równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^nx^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}}\)
a potem pomnożyć wynik stronami przez \(\displaystyle{ x}\) i podstawić \(\displaystyle{ x=2}\).

Q.