Matematyka.pl

Mam problem z pewnymi zadaniami, nie spotkałam nigdy takich czy ktoś by umiał mi je wytłumaczyć najprościej jak tylko się da, powiedzieć krok po kroku jak je wykonać? Z góry dziękuje za pomoc
Zad.1
Ostrosłup trójkątny stworzono w sposób następujący. Dwa boki trójkąta w podstawie utworzono z losowo podzielonego odcinka \(\displaystyle{ (0,10)}\), kąt między nimi jest z \(\displaystyle{ (0, \frac{\pi}{4})}\). Wysokość ostrosłupa została wylosowana z rozkładu wykładniczego. Losowanie danych jest niezależne od siebie. Obliczyć \(\displaystyle{ EX}\) i \(\displaystyle{ Var}\) objętości.

Zad.2
Obliczyć \(\displaystyle{ EX}\) i \(\displaystyle{ Var}\) liczby pierwiastków wielomianu
\(\displaystyle{ x^{3}+ (B-1)x^{2}-B}\)
gdzie \(\displaystyle{ B+5 \sim \epsilon (3)}\).

Zad.3
\(\displaystyle{ X}\)-zmienna losowa, \(\displaystyle{ X\sim\epsilon(2)}\). Znajdź rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=X-\left[ X\right]}\) oraz \(\displaystyle{ E(Y)}\). Czy ma rozkład dyskretny?

Zad.4
Po dwóch stronach budynku jest po jednym graczu. Ich zadaniem jest dotarcie do głównego holu. Pierwszy gracz musi pokonać białe, czarne i białe drzwi natomiast drugi gracz czarne,białe i czarne. Każdy gracz dostaje po kluczu białym i czarnym (biały otwiera białe drzwi, a czarny otwiera czarne drzwi). Gracze wkładają biały klucz do prawej kieszeni a czarny do lewej. Losują monetę (pierwsza ma \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) p-stwo wylosowania orła, a druga moneta ma \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wylosowania orła). Gra polega na tym, gracze losują monetę, jak wypadnie orzeł wyjmują z prawej kieszeni klucz, jak reszka to z lewej. Gracz wyjmuje klucz, jak otworzy drzwi gra dalej, jak nie to koniec gry. Przed każdymi drzwiami ponownie losuje monetę i klucz. Gracze spotkali się na głównym holu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowali monetę z \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) p-stwa.

Zadanie 1.

(Rozumiem, że kąt jest ustalony, a nie losowany?)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{ab \sin \alpha}{2}\cdot h = \frac{ha(10-a) \sin \alpha}{6}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}V= \frac{ \sin \alpha}{6} \int_{0}^{1}a(1-a) \frac{1}{10}da \cdot \int_{0}^{\infty}h \lambda e^{-\lambda h} dh = \frac{ \sin \alpha}{6} \cdot \frac{50}{3} \cdot \frac{1}{\lambda}}\)

Wariancja analogicznie.


Zadanie 2.

Wyznaczasz liczbę pierwiastków \(\displaystyle{ L}\) w zależności od \(\displaystyle{ B}\), a następnie liczysz \(\displaystyle{ \matbb{E}L(B)}\) i \(\displaystyle{ Var L(B)}\).


Zadanie 3.

Rozkład nie będzie dyskretny. Będzie przyjmowac wartości z przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\) Liczymy standardowo:

dla \(\displaystyle{ ain [0,1)}\)

\(\displaystyle{ P(Y\le a) = P(X-[X]\le a ) = \sum_{k=0}^{\infty}P(k\le X \le k+ a ) = \sum_{k=0}^{\infty} \int_{k}^{k+a}\lambda e^{-\lambda x}dx = \sum_{k=0}^{\infty} \left( e^{-\lambda k}-e^{-\lambda (k+a)}\right) = \left( 1-e^{-\lambda a}\right) \sum_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda k} = \frac{1-e^{-\lambda a}}{1-e^{-\lambda}}}\)

Dziękuje, a czy ktoś może podpowiedzieć coś na temat 4 zadania wydaje mi się że w nim trzeba zastosować wzór Bayes'a ale do końca nie wiem jak. A co do zadania 2 to mam normalnie pierwiastki policzyć (\(\displaystyle{ \Delta = b^{2}+4ac}\) itd.)?

Czwarte jest tak zawiłe i jednocześnie tak beznadziejnie mało precyzyjne, że nie do końca wiem jak przebiega ta gra i o co nas pytają...

Co do drugiego: równanie trzeciego stopnia raczej nie policzysz deltą

Moja omyłka, pierwiastki za pomocą wzoru Cardano? gdzie
\(\displaystyle{ a=1}\)

\(\displaystyle{ b=(B-1)}\)

\(\displaystyle{ c=0}\)

\(\displaystyle{ d=B}\)
i podstawić do \(\displaystyle{ x_{1} \ x_{2} \ x_{3}}\)
a potem wyliczyć \(\displaystyle{ y_{1} \ y_{2} \ y_{3}}\)
wzory z tej strony
dobrze?