Matematyka.pl

czy to rówmanie ma jakieś rozwiązanie?

\(\displaystyle{ x^4-10x^3+26x^2-10x+1=0}\)

Równanie ma cztery pierwiastki rzeczywiste - wszystkie niewymierne Jeśli chcesz je 'ręcznie' rozwiązać, to rozłóż dany wielomian na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych, potem policz wyróżniki i tak dalej...

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

wielomiany sa ciagle
W(0)=1
W(4)=16*16-640+26*16 -40+1=42*16-16*40 -40+1=32-40+1=-7

stad i z bolzano-darboux ma rozwiazanie

cóż za elegancja....

no to może podajmy te pierwiastki:

\(\displaystyle{ 3 - 2 \sqrt{2} , \,\ 3 + 2 \sqrt{2} , \,\ 2 - \sqrt{3} , \,\ 2 + \sqrt{3}}\)

pytanie bylo czy ma rozwiazanie a nie jakie sa,
po co sie umartwiac

No wiem, tw. darboux rządzi..., ale tu przy okazji ujawnia się dość ważna cecha, choć ja muszę przynać, że nie widziałem dowodu, że jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek niewymierny x, to ma również pierwiastek sprzeżony z x. Nie wiem, czy to prawda? (wiem, że taki motyw w zespolonych działa...)

zalezy jak definiujesz sprzezenie w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

hmmmm.... no właściwie.... no tu mnie masz ....... bo ja najpierw myślałem po prostu, że liczbę rzeczywistą zapisujesz jako a+bt, gdzie a, b wymierne, a t niewymierna, i sprzeżona by była wówczas a-bt, ale to chyba jakoś nie tak .... znaczy zapisać tak można, ale to wtedy jest poprawnie zdefiniowane sprzężenie.... no raczej nie

nie wiem... właściwie pytanie głupie było....

skojarzyło mi się z zespolonymi, no .... nie wiem, zastonowię się dokładniej i napiszę....

no z tym ze przydaloby sie jednak zeby \(\displaystyle{ x\bar{x} \in \mathbb{Q}}\) chyba, czyli nie rozpatrujemy sprzezenia w sensie \(\displaystyle{ \mathbb{Q} [t]}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t}\) niewymiernego tylko na przyklad w \(\displaystyle{ \mathbb{Q} [\sqrt{n}]}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) naturalne, bezkwadratowe. w sumie to moznaby sie nad tym zastanowic.

poza tym

Arek pisze:hmmmm.... no właściwie.... no tu mnie masz ....... bo ja najpierw myślałem po prostu, że liczbę rzeczywistą zapisujesz jako a+bt, gdzie a, b wymierne, a t niewymierna, i sprzeżona by była wówczas a-bt, ale to chyba jakoś nie tak .... znaczy zapisać tak

jak \(\displaystyle{ t}\) jest ustalone to nie kazda liczbe rzeczywista mozesz tak zapisac. zbior liczb postaci tej co podales jest przeliczalny.

nie no jasne, chodzi przecież o liczby algebraiczne......... ich jest przeliczalnie wiele

tak... zastanowię się.........

Arek pisze:nie no jasne, chodzi przecież o liczby algebraiczne......... ich jest przeliczalnie wiele

w sumie to zle to ujalem. dla przykladu: nie zapiszesz \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jako \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2} , (a,b) \in \mathbb{Q}^2}\)

oczywiście, że nie zapiszę....

Pytasz o metodę rozwiązania..... Przez W(x) oznaczmy Twój wielomian. Niech P(x) oraz Q(x) będą trójmianami kwadratowymi.

W(x)=P(x)*Q(x)

\(\displaystyle{ P(x)=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=dx^2+ex+f}\)

Wymnażasz sobie i dostajesz układ równań (przyrównujesz współczynniki z wyjściowym wielomianem). Wiem, że dużo z tym roboty będzie, ale nie mam chwilowo innego pomysłu... Po zamienieniu wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych, oblicz ich pierwiastki.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

Takie rownania chyba maja jakas nazwe, zwronte czy symetryczne, no i oczywiscie swoja metode rozwiazywania.
Sprytnie

czy mógłby ktoś mi napisać w jak rozwiązywał to równanie?
ja próbowałam robić powyższym sposobem ale mi nie wyszło

[ Dodano: Nie Sty 16, 2005 11:19 am ]
edyta