Matematyka.pl

Na początku zauważmy, że ciąg \(\displaystyle{ \{a_{2n} : n \in \mathbb{N}\}}\) jest malejący, a ciąg \(\displaystyle{ \{a_{2n-1} : n \in \mathbb{N}\}}\) rosnący. Istotnie rozpisując dostajemy:

\(\displaystyle{ a_{2n-2}-a_{2n} = \frac{a_{2n-1}-a_{2n-3}}{(1+a_{2n-3})(1+a_{2n-1})}}\)

Więc \(\displaystyle{ a_{2n-2}-a_{2n}}\) jest tego samego znaku co \(\displaystyle{ a_{2n-1}-a_{2n-3}}\), ale rozpisując analogicznie \(\displaystyle{ a_{2n-1}-a_{2n-3}}\) dostajemy, że jest ono tego samego znaku co \(\displaystyle{ a_{2n-4}-a_{2n-2}}\), czyli \(\displaystyle{ a_{2n-2}-a_{2n}}\) jest tego samego znaku co \(\displaystyle{ a_2-a_4 > 0}\), skąd dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ a_{2n-2} > a_{2n}}\), a stąd \(\displaystyle{ a_{2n-1} > a_{2n-3}}\). Ciąg \(\displaystyle{ a_{2n}}\) jest ograniczony z dołu np przez \(\displaystyle{ 0}\), jest więc zbieżny do jakiegoś \(\displaystyle{ g_a}\). Zauważmy też, że \(\displaystyle{ a_{2n+1} = 1+\frac{1}{1+a_{2n}} < 1+1 = 2}\), skąd ciąg \(\displaystyle{ a_{2n+1}}\) jest ograniczony z góry, więc zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ g_b}\). Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ a_{2n+1} = \frac{2+a_{2n}}{1+a_{2n}} = \frac{3+\frac{1}{1+a_{2n-1}}}{2+\frac{1}{1+a_{2n-1}}}}\)

Przechodząc z n do nieskończoności dostajemy, że \(\displaystyle{ g_b = \sqrt{2}}\), analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ g_a = \sqrt{2}}\), skąd istotnie \(\displaystyle{ g_a = g_b}\) cnd.