Matematyka.pl

\(\displaystyle{ A \in K^{n,n}}\). Pokaż, że następujące warunki są równoważne:
(1)\(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa
(2) \(\displaystyle{ A^T}\)jest nieosobliwa
(3) \(\displaystyle{ A^H}\) jest nieosobliwa

Sprawa jest naprawdę prosta - wystarczy wykazać trzy implikacje:
\(\displaystyle{ (1) \Rightarrow (2)}\) Załóżmy, że zachodzi (1), tzn. \(\displaystyle{ det(A) \neq 0}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \det (A)=\det (A^{T})}\), więc \(\displaystyle{ \det (A^{T}) \neq 0}\) A to znaczy, że \(\displaystyle{ A^{T}}\) jest nieosobliwa.
\(\displaystyle{ (2) \Rightarrow (3)}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ \det (A^{T}) \neq 0}\). Wówczas \(\displaystyle{ \det (A^{H})=\det (A)= \det (A^{T})}\), więc \(\displaystyle{ \det (A^{H}) \neq 0}\), a to oznacza \(\displaystyle{ A^{H}}\) jest nieosobliwa.
\(\displaystyle{ (3) \Rightarrow (1)}\) Ta implikacja jest prawdziwa, bo \(\displaystyle{ \det (A^{H})=\det (A)}\).