Wykazać implikacje w pierścieniach

[Aniusia010791]

Niech \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) będą pierścieniami. Wykaż implikacje:

\(\displaystyle{ P}\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ Q \Rightarrow P ^{2}}\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ Q ^{2}}\)

[yorgin]

Niech \(\displaystyle{ f:P\to Q}\) będzie izomorfizmem. Wypisz pierwszy lepszy pomysł na izomorfizm \(\displaystyle{ P^2}\) oraz \(\displaystyle{ Q^2}\), jaki Ci przychodzi do głowy.

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ h\colon P\to Q}\) będzie izomorfizmem. Zdefinijmy odwzorowanie \(\displaystyle{ \hat{h}\colon P^2 \to Q^2}\) wzorem

\(\displaystyle{ \hat{h}\big((a,b)\big) = \big(h(a), h(b)\big)\;\;\;((a,b) \in P^2).}\)

Wówczas \(\displaystyle{ \hat{h}}\) jest homomorfizmem pierścieni. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \hat{h}}\) jest różnowartościowy. Istotnie, jeżeli \(\displaystyle{ \hat{h}\big((a,b)\big) = \hat{h}\big((x,y)\big)}\) to \(\displaystyle{ h(a)=h(x)}\) oraz \(\displaystyle{ h(b)=h(y)}\) czyli \(\displaystyle{ a=x}\) oraz \(\displaystyle{ b=y}\). Surjektywność jest również łatwa. Ustalmy \(\displaystyle{ (x,y)\in Q^2}\) i zauważmy, że

\(\displaystyle{ \hat{h}\big((h^{-1}(x),h^{-1}(y))\big)=(x,y)}\).