Matematyka.pl

Znajdź bazę przestrzeni rozwiązań układu:

\(\displaystyle{ x_{1} + 2x_{2} - x_{3} + 2x_{4} = 0}\)
\(\displaystyle{ 3x_{1} + 6x_{2} - x_{3} - 2x_{4} = 0}\)
\(\displaystyle{ -x_{1} - 2x_{2} + 2x_{4} = 0}\)

Zapisz wektor (0; 1; 4; 1) jako kombinację liniową wektorów znalezionej
bazy.


Wiem, że to banalne, ale po prostu nie wiem jak to rozwiązać, a tą drugą część umiem, będę wdzięczny za wyjaśnienie

Układ ten jest równoważny układowi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{3}=4x_{4} \\ x_{1}=-2x_{2}+2x_{4} \end{cases}}\)

Ponieważ przestrzenią rozwiązań jest czwórka \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}\) to wykorzystując powyższy układ:
\(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(-2x_{2}+2x_{4},x_{2},4x_{4},x_{4})=x_{2}(-2,1,0,0)+x_{4}(2,0,4,1)}\) Ale \(\displaystyle{ x_{2}, x_{4}}\) są dowolnymi skalarami z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to przestrzeń rozwiązań \(\displaystyle{ V=lin\left\{(-2,1,0,0),(2,0,4,1)\right\}}\).