wykaż podzielność

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
nonienonie+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 19 paź 2013, o 16:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy

wykaż podzielność

Post autor: nonienonie+ » 20 paź 2013, o 12:10

Wykaż, że dla każdego\(\displaystyle{ n \in N}\) liczba w postaci \(\displaystyle{ n^3+5n}\) jest podzielna przez 6.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18704
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3710 razy

wykaż podzielność

Post autor: szw1710 » 20 paź 2013, o 12:18

Zbadaj reszty jakie daje \(\displaystyle{ n}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\), to nie ma czego sprawdzać.

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) daj resztę \(\displaystyle{ 1}\), to suma \(\displaystyle{ n^3+5n}\) daje taką resztę jak \(\displaystyle{ 1^3+5\cdot 1=6}\), więc liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\), to \(\displaystyle{ n^3+5n}\) daje taką resztę jak \(\displaystyle{ 2^3+5\cdot 2=18}\).

Przeanalizuj pozostałe przypadki.

duze_jablko2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 30 cze 2013, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 1 raz

wykaż podzielność

Post autor: duze_jablko2 » 20 paź 2013, o 12:30

\(\displaystyle{ n^{3}+5n = n \left( n^{2} + 5 \right) = n \left( \left( n^{2}-1 \right) + 6 \right) = n \left( n^{2} - 1 \right) +6n = n \left( n-1 \right) \left( n+1 \right) + 6n = \left( n-1 \right) n \left( n+2 \right) + 6n}\)
składnik : \(\displaystyle{ \left( n-1 \right) n \left( n+2 \right)}\) to są trzy kolejne liczby naturalne wiec co najmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) zatem iloczyn tych liczb jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\)
składnik : \(\displaystyle{ 6n}\) - wolny składnik, który również jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\)

zatem dana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)
Ostatnio zmieniony 20 paź 2013, o 14:56 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

ODPOWIEDZ