Matematyka.pl

Zadanie jest następujące:
korzystając z postaci wykł. l. zespolonej wyznaczyć rozwiązanie(a):

\(\displaystyle{ z* z^{12}= 2^{13}}\), gdzie z to liczba zespolona.

Ja to zacząłem robić tak: \(\displaystyle{ |z| \cdot z^{11} = 2^{13}}\)
Ale byłbym wdzięczny za wskazówki, w którą stronę powinno iść to rozwiązanie.

\(\displaystyle{ z \cdot z^{12}=z^{13}}\) a potem łatwiej poprzez pierwiastki z 1

aa!! tam źle zapisałem, oczywiście powinno być:
\(\displaystyle{ z^{*} \cdot z^{12}}\) czyli na początku jest sprzężenie liczby zespolonej.
To tak powinno wg mnie wyglądać dalej:
\(\displaystyle{ |z| \cdot z^{11} = 2^{13} \Leftrightarrow |z| r^{11} e^{11i \alpha }=2^{12}}\), gdzie:
\(\displaystyle{ r=|z|; z=re^{i \alpha }}\). No i gdy \(\displaystyle{ e^{i \alpha }=1}\) to przypadek jest trywialny: \(\displaystyle{ |z|^{12}=2^{13}}\),
ale jak zrobić dla dowolnej fazy liczby z?

Uwaga!
\(\displaystyle{ zz^{*}=|z|^{2}}\)

Kartezjusz pisze:Uwaga!
\(\displaystyle{ zz^{*}=|z|^{2}}\)

racja!! dzięki za poprawkę
No to jest teraz tak:

\(\displaystyle{ |z|^{2} \cdot |z|^{11}e^{i11 \alpha } = 2^{13}}\) czyli może zachodzić np.:
\(\displaystyle{ |z|=2.}\)

No ale co trzeba jeszcze (jakie przypadki) dalej rozważyć?

Podziel przez moduł. Otrzymasz pierwiastki z jedynki.