odległość od zbioru

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Matematyk111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 209
Rejestracja: 17 paź 2010, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Miasto
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 2 razy

odległość od zbioru

Post autor: Matematyk111 » 16 paź 2013, o 23:06

\(\displaystyle{ A=\left\{ x=(x_{1}, ...): \sum_{i=1}^{ \infty }x_{i} =1, x_{i} \ge 0 \right\}}\) . Pokazac, ze \(\displaystyle{ A \subset l_{1}, l_{2}}\) i obliczyc \(\displaystyle{ d(0,A)}\) w \(\displaystyle{ l_{1}, l_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ d(x_{0},A)= \inf \left| \left| a-x_{0}\right| \right|}\).
Ostatnio zmieniony 17 paź 2013, o 17:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \inf.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 939 razy

odległość od zbioru

Post autor: Kartezjusz » 17 paź 2013, o 14:45

Suma jest skończona ,czyli od razu należy do \(\displaystyle{ l_{1}}\). Jako,że liczby są nieujemne
\(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{\infty} )^{2} \ge \sum_{i=1}^{\infty}x^{2}}\) czyli jest i w \(\displaystyle{ l_{2}}\)
Zauważ,że podany zbiór jest fragmentem sfery w \(\displaystyle{ l_{1}}\)czyli odległość już mamy.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

odległość od zbioru

Post autor: yorgin » 17 paź 2013, o 15:18

Kartezjusz pisze:Suma jest skończona ,czyli od razu należy do \(\displaystyle{ l_{1}}\). Jako,że liczby są nieujemne
\(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{\infty} )^{2} \ge \sum_{i=1}^{\infty}x^{2}}\) czyli jest i w \(\displaystyle{ l_{2}}\)
Ten warunek bezpieczniej zamienić na
\(\displaystyle{ \sum x_i^2\leq \sum x_i}\)
który to wynika z nieujemności \(\displaystyle{ x}\) oraz tego, że \(\displaystyle{ x_i\leq 1}\).
Kartezjusz pisze: Zauważ,że podany zbiór jest fragmentem sfery w \(\displaystyle{ l_{1}}\)czyli odległość już mamy.
W \(\displaystyle{ \ell_2}\) jest ciekawiej - ta odległość to \(\displaystyle{ 0}\).

ODPOWIEDZ