Istnienie liczby niewymiernej między innymi liczbami
: 16 paź 2013, o 15:40
Mam nadzieję, że ktoś zrozumie mój problem.
Miałem udowodnić, że między liczbą wymierną \(\displaystyle{ m}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) znajdzie się liczba niewymierna.
Jedną z przykładowych liczb jest np. \(\displaystyle{ x= \frac{3m^2+2}{4m}}\), zaś gdy nasze \(\displaystyle{ m= \frac{p}{q}}\), to wtedy, np. \(\displaystyle{ x= \frac{3pq+1}{3q^2}}\). Chodzi mi głównie o to, że jaki jest sposób na znalezienie takich liczb, dla przykładu te pierwszą, którą podałem, można znaleźć od tyłu:
\(\displaystyle{ k< \sqrt{2}}\) i teraz: podnosimy do kwadratu, dodajemy \(\displaystyle{ 3k^2}\), dzielimy przez \(\displaystyle{ 4k}\) i mamy, ale jakbyśmy np. dodali \(\displaystyle{ k^2}\) to tak nie zadziała, chodzi mi czy jest jakaś metoda na to, albo inny sposób na znajdowanie takich liczb.
Zadanie było związane z Zasadą Ciągłości Dedekinda dla liczb niewymiernych.
Miałem udowodnić, że między liczbą wymierną \(\displaystyle{ m}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) znajdzie się liczba niewymierna.
Jedną z przykładowych liczb jest np. \(\displaystyle{ x= \frac{3m^2+2}{4m}}\), zaś gdy nasze \(\displaystyle{ m= \frac{p}{q}}\), to wtedy, np. \(\displaystyle{ x= \frac{3pq+1}{3q^2}}\). Chodzi mi głównie o to, że jaki jest sposób na znalezienie takich liczb, dla przykładu te pierwszą, którą podałem, można znaleźć od tyłu:
\(\displaystyle{ k< \sqrt{2}}\) i teraz: podnosimy do kwadratu, dodajemy \(\displaystyle{ 3k^2}\), dzielimy przez \(\displaystyle{ 4k}\) i mamy, ale jakbyśmy np. dodali \(\displaystyle{ k^2}\) to tak nie zadziała, chodzi mi czy jest jakaś metoda na to, albo inny sposób na znajdowanie takich liczb.
Zadanie było związane z Zasadą Ciągłości Dedekinda dla liczb niewymiernych.