Matematyka.pl

Znajdź kąt przy wierzchołku D oznaczony pytajnikiem. Próbowałem do tego podejśc na kilka sposobów i żaden nie okazał się skuteczny.

Pytanie pojawilo sie na Bloomberg Institute ale zniknęło więc nie mam możliwości sprawdzenia odpowiedzi.

Z góry dzięki za pomoc.

Kąty BDC,BEC,BAC liczysz bez problemu. Jeśli "przekątne przecinają się w \(\displaystyle{ F}\). to kąt BFC i DFE też liczysz łatwo. W pozostałych oznaczasz niewiadomymi
\(\displaystyle{ x=CDE}\)
\(\displaystyle{ y=EDA}\)
\(\displaystyle{ z=BED}\)
\(\displaystyle{ t=DEA}\)
Analizując odpowiednie trójkąty powinieneś otrzymać cztery równania liniowe.

Jesli te rownania to

\(\displaystyle{ z+t=140 \\
y+x=150\\
y+z=160\\
x+t=130}\)

To nie ma jednoznacznego rozwiazania, a innych rownan nie widze.

Odejmij pierwsze z ostatnim i pierwsze z trzecim. Rugujesz z nich\(\displaystyle{ x \ oraz \ y}\)

Ale ostatnie równanie jest równe (1)+(2)-(3) czyli efektywnie mamy 4 zmienne na 3 równania. Wobec tego możemy to rozwiązac tylko wobec jednej zmiennej. Czy cos pominalem?

Jedno z równań musi zostać, bo tak z możemy produkować bzdury:)
\(\displaystyle{ x=1;y=1\Rightarrow x+y=2}\)

\(\displaystyle{ x=130-t\\
y=t+20\\
z=140-t\\
t=t}\)

Jak dla mnie nic z tego nie wynika.. Jak dojsc do koncowej wartosci x?

Ja to kiedyś zrobiłem jakoś tak mniej "chamsko". W moim rysunku pojawiły się wówczas różne trapezy równoramienne.

Tu było podobne :
144330.htm

Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ADC}\). Pokaż że \(\displaystyle{ ACO}\) jest równoboczny. Wywnioskuj stąd, że \(\displaystyle{ AO=OD}\), a stąd że \(\displaystyle{ AD=BC}\).

Teraz weź punkt \(\displaystyle{ F}\) na \(\displaystyle{ AC}\) taki, że \(\displaystyle{ AD=DF}\). Pokaż, że wtedy \(\displaystyle{ AD=DF=FC=CB}\). Następnie wykaż, że \(\displaystyle{ \angle DBE = \angle DFE}\). Stąd wynika, że punkty \(\displaystyle{ B,D,E,F}\) leżą na okręgu. Jak już się to ma to łatwo doliczyć, że szukany kąt wynosi \(\displaystyle{ 20^\circ}\).