Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \left( i+z\right) ^{4}=\left( -1-z\right) ^{4}}\). Nie mam pomysłu z czego korzystać.Zaczynam z wykładniczej ale zostaję na: \(\displaystyle{ \left( e ^{i \frac{ \pi }{2} }+ re ^{i \alpha } \right) ^{4} = \left( e ^{i \pi }-re ^{i \alpha } \right) ^{4}}\)

\(\displaystyle{ (-1-z)^4=(1+z)^4}\)

Po spierwiastkowaniu:

\(\displaystyle{ i+z=\sqrt[4]{1}(1+z)}\)

Dalej już łatwo.

szczerze mowiac to nie wiem co dalej i dlaczego \(\displaystyle{ i+z=\sqrt[4]{1}(1+z)}\)

waliant pisze:szczerze mowiac to nie wiem co dalej

Wyznacz \(\displaystyle{ z}\) z tego, co napisałem. Wyznacz również \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}}\)

waliant pisze: dlaczego \(\displaystyle{ i+z=\sqrt[4]{1}(1+z)}\)

Jeśli \(\displaystyle{ w^4=y^4}\), to \(\displaystyle{ w=\sqrt[4]{1}y}\). Podnieś do czwartej potęgi to ostatnie, by się o tym przekonać.

Formalizując nieco rozwiązanie powyżej:
Jedno z rozwiązań można otrzymać z równania: \(\displaystyle{ i+z=-1-z}\).
Wychodzi.

\(\displaystyle{ z=-\frac{1+i}{2}}\)

Niech teraz:

\(\displaystyle{ \varepsilon_k=\cos\frac{k\pi}2+i\sin\frac{k\pi}2}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\).

Wówczas \(\displaystyle{ \varepsilon_k^4=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\) i wobec tego liczby

\(\displaystyle{ -\frac{1+i}{2}\cdot \varepsilon_k}\)

są wszystkimi możliwymi rozwiązaniami danego równania, bo to cztery różne liczby a wielomian czwartego stopnia ma niewięcej niż cztery różne rozwiązania.