Strona 1 z 1
Liczby pierwsze
: 13 paź 2013, o 13:13
autor: Rosee1993
Udowodnij, że wśród liczb \(\displaystyle{ m}\), \(\displaystyle{ m+1}\), \(\displaystyle{ m+2}\) istnieje taka, która jest względnie pierwsza z pozostałymi.
Liczby pierwsze
: 13 paź 2013, o 14:00
autor: kristoffwp
Ta liczba to \(\displaystyle{ m+1}\). Łatwo to udowodnić nie wprost. Załóżmy, że \(\displaystyle{ m+1}\) i \(\displaystyle{ m}\) nie są względnie pierwsze. Istnieje zatem liczba pierwsza \(\displaystyle{ p_1}\) taka, że \(\displaystyle{ m=k_1p_1}\) i \(\displaystyle{ m+1=k_2p_1}\) i \(\displaystyle{ k_1,k_2\in\mathbb{N}, k_2>k_1}\). Otrzymujemy: \(\displaystyle{ 1=m+1-m=p_1(k_2-k_1)\geq p_1>1)}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi, że \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ m+1}\) są względnie pierwsze. Analogicznie postępujemy dla drugiej pary liczb.
Liczby pierwsze
: 13 paź 2013, o 21:35
autor: Rosee1993
Czyli rozpatruję parę \(\displaystyle{ m+1}\) i \(\displaystyle{ m+2}\) przy tych samych założeniach. I jak tu jest w przedostatniej linijce w tym przypadku będzie \(\displaystyle{ 1=m+2-m-1}\) itd i tu znów mi wychodzi sprzeczność. Więc znów są to liczby względnie pierwsze. Pary \(\displaystyle{ m, m+2}\) nie rozpatruje gdyż one nie muszą być względnie pierwsze. Tak?
Liczby pierwsze
: 13 paź 2013, o 22:05
autor: Ponewor
tak
Liczby pierwsze
: 14 paź 2013, o 07:41
autor: kristoffwp
Rosee1993 pisze:czyli rozpatruje pare m+1 i m+2 przy tych samych zalozeniach. i jak tu jest w przedostatniej linijce w tym przypadku bedzie 1=m+2-m-1 itd i tu znow mi wychodzi sprzecznosc. wiec znow sa ta liczby wzglednie pierwsze. pary m, m+2 nie rozpatruje gdyz one nie musza byc wzglednie pierwsze. tak?
Tak. Nie muszą, ale jak są nieparzyste to muszą.