Matematyka.pl

Mam do rozwiązania równanie:

\(\displaystyle{ z ^{6}=(2+4i) ^{6}}\)

Jednak mam problem z zapisaniem \(\displaystyle{ 2+4i}\) w postaci trygonometrycznej.
Czy może istnieje jakiś inny, sprytny sposób na rozwiązanie tego równania bez zamiany owego wyrażenia na postać trygonometryczną? Z góry dziękuję za pomoc.

Raczej się nie da inaczej. Kąt wychodzi w przybliżeniu \(\displaystyle{ 63,43}\) i chyba trzeba na takim przybliżonym działać.

\(\displaystyle{ z^6-\left( 2+4i\right) ^6=0 \\ \left( z^3\right) ^2-\left[ \left( 2+4i\right) ^3\right]^2 =0 \\ \left[ z^3-\left( 2+4i\right)^3 \right] \cdot \left[ z^3+\left( 2+4i\right)^3 \right]=0 \\ z^3-\left( 2+4i\right)^3=0 \vee z^3+\left( 2+4i\right)^3 =0 \\ \left( z-2-4i\right)\left[ z^2+\left( 2+4i\right)z+\left( 2+4i\right) ^2 \right] =0 \vee \left( z+2+4i\right)\left[ z^2-\left( 2+4i\right)z+\left( 2+4i\right) ^2 \right] =0}\)

i te kwadratowe z delty

Albo \(\displaystyle{ z=\varepsilon_6(2+4i)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_6}\) to pierwiastki \(\displaystyle{ 6}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).