Matematyka.pl

witam wszystkiech

mam problem z liczeniem granic lewostronnych i prawostronnych

A mianowicie mam funkcje \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{1 - x^x}}\)

I licze granice na krancach funkcji czyli w (-oo) , (+oo) i [-1 (z lewej strony)] ( -1 z prawej strony ) i analogicznie z 1 ( z lewej i prawej strony)

No i tak rozwiazaniem dla -1(z lewej strony) jest +oo
-1(z lprawej strony) jest -oo itd.

Moglby mi ktos wyjasnic w jaki sposob sie liczy te granice lewostronne i prawostronne ??
Z gory dziekuje za pomoc i pozdrawiam Kubalonek.

Otóż przy tych granicach trzeba wykorzystać trochę intuicji (ale tylko odrobinę więc bez paniki )
Spójrzmy np. na granice dla -1:

Zauważamy, że f(-1) = -1/1 - (-1)^(-1) = -1 + 1 = 0....
Zaraz, przecież f(x) jest określona w -1! Tu nie liczy się więc granic

Chyba źle zapisałeś funkcję

To jest czesc zadania z badania przebiegu zmiennosci funkcji , i liczy sie granice nma krancach funkcji , czyli jak miejscami zerowymi wyszly 1 i -1 , to trzeba policzyc granice w -oo , i +oo , w -1 z lewej i prawej strony i 1 rowniez z lewej i prawej strony

Rada na przyszłość: dbaj o czytelność swoich postów... Z racj tego, że to był Twój pierwszy post, poprawiłem oznaczenia

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

Granice liczy sie w nieskonczonosciach oraz w liczbach wyrzuconych z dziedziny, a nie w miejscach zerowych tej funkcji.

Okok, teraz juz widze o co chodzi
Wytłumaczę rozwiąznie ok. 13, o ile wczesniej nie zrobi ktos tego za mnie

Po pierwsze, zawsze trzeba rozważyć DZIEDZINĘ FUNKCJI
Podstawcie sobie za x np. x=-1/2 i co

Hmm? Przecież -1/2 należy do dziedziny
No ale już dokończę :]
Otóż z dziedziny będą wyrzucone liczby -1 i 1 zatem musimy dla nich policzyć granice. Wyjaśnię to na przykładzie x=-1
a) granica lewostronna - czyli wartość do której dążą wartości funkcji dla argumentów zbliżających się do -1 z lewej strony. Mamy zatem do czynienia z liczbami zbliżającymi się do -1 ale odrobinę od niej mniejszymi. Jak już wcześniej mówiłem, potrzebna jest tutaj odrobina intuicji, trzeba to poczuć.
I tak gdy podstawimy liczbę odrobinę mniejszą od -1 (dla zobrazowania użyję tutaj liczby -1,001, choć przy obliczaniu granic nie używa się konkretnych wartości) do wzoru funkcji otrzymamy: -1,001/[1 - (-1,001)^2] = -1,001/(1 - 1,002001) = -1,001/-0,002001 = 1,001/0,002001.
Jak widać mianownik jest bliski zeru, zaś licznik jest bliski jedynce. Nietrudno zauważyć, że im bliżej wartościami zbliżamy się do -1 tym bardziej liczba w liczniku zbliża się do 1 a liczba w mianowniku do 0. Zatem wartości funkcji drastycznie rosną zbliżając się do -1 z lewej strony, a jako że licznik i mianownik jest dodatni, wartości funkcji są dodatnie, więc dążą one do nieskończoności. Zatem granicą lewostronną przy -1 jest nieskończoność.
b) granica prawostronna
Analogicznie do granicy lewostronnej podstawiamy teraz argumenty nieco większe od -1. Np. dla x=-0,999 mamy f(x)=-0,999/[1 - (-0,999)^2] = -0,999/(1 - 0,998001) = -0,999/0,001999.
Jak widać licznik dąży do -1 zaś mianownik do 0, czyli wartości funkcji drastycznie rosną, jednak licznik i mianownik są przeciwnych znaków, więc wartości będą dążyły do -nieskończoności.

Teraz mozna podobnie postąpić sla x=1
Gtanica lewostronna wyjdzie nieskonczonosc, granica prawostronna minus nieskończoność

Ale jak -1 moze byc wyrzucone z dziedziny ??

Przecież ... \(\displaystyle{ 1-(-1)^{-1}=2}\) a nie 0.
I \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) nie nalezy do dziedziny bo nie ma pierwiastków z liczby ujemnjej ... \(\displaystyle{ \Large (-\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}\rightarrow}\) sprzeczność.

I czy tutaj istnieje granica w + i - inf ?

w \(\displaystyle{ +\infty}\) jest rowna \(\displaystyle{ -\infty}\) , w \(\displaystyle{ -\infty}\) nie istnieje bo dla ujemnych funkcja jest okreslona tylko w calkowitych.

Dobra, zdradze Wam te tajemnice ze funkcja o ktora chodzilo to:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{1-x^2}}\)
Gościu mnie dorwal na gg i sprawa sie wyjasnila.

No wiesz ...

żadna róznica \(\displaystyle{ x^2}\) czy \(\displaystyle{ x^x}\)

W zapisie było tak to i tak rozwiazuje :]

Co za zbieg okoliczności :] w dniu kiedy pokazało sie to zadanko na lekcjach matmy szukalismy asymtot dla tej funkcji :]

A swoją drogą ciekawe, jaką według Was dziedzinę ma funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^x}\)?

R+ i wymierne -p/q nieskracalne p>0,q>0 i p=0(mod2) i jeszcze 0.

Eldoopa: W analizie matematycznej przyjmuje się przeważnie, że 00 jest symbolem nieoznaczonym (w algebrze w celach czysto kosmetycznych gdzieniegdzie przyjmuje się, że 00=1 ).

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki