Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
ahk1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 16 wrz 2013, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: ahk1986 » 11 paź 2013, o 11:33

Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (20,100)}\). Znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=max(X-50,0)}\). Robię to tak: \(\displaystyle{ EY=\int_{-\infty}^{\infty}max(x-50,0)\frac{1}{80}\mathbf{1}_{(20,100)}(x)dx}=\frac{1}{80}\int_{50}^{100}x-50dx=\frac{\frac{1}{2}(100^2-50^2)-50(100-50)}{80}=15.625}\)

Z drugiej strony możemy to policzyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ E[Y]=\frac{E[Y|X>50]}{P(X>50)}+\frac{E[Y|X<50]}{P(X<50)}=\frac{E[X-50]}{P(X>50)}+0=\frac{60-50}{\frac{5}{8}}=\frac{80}{5}=16}\)

Gdzie jest błąd w drugim rozumowaniu ?

robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: robertm19 » 11 paź 2013, o 14:37

Ten drugi sposób to kompletna bzdura.
\(\displaystyle{ E[Y]=E[Y|X>50]P(X>50)+E[Y|X<50]P(X<50)=E[X-50|x>50]P(X>50)+0=\frac{\int_{50}^{100}(x-50)f(x)dx}{P(X>50)}P(X>50)=\int_{50}^{100}(x-50)f(x)dx}\)
Tak jest poprawnie. Jak widać prowadzi to do tej samej całki.

ODPOWIEDZ