prawdopodobienstwo rozstawienia osob

[kameleon99]

\(\displaystyle{ 1)}\) Ustawiono w dowolnej kolejności \(\displaystyle{ n}\) osób w rzędzie, w tym \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że
pomiędzy osobami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będzie stało dokładnie \(\displaystyle{ r}\) osób

\(\displaystyle{ 2)}\) Posadzono przy okrągłym stole \(\displaystyle{ n}\) osób, w tym \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że między osobami
\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będzie siedziało dokładnie \(\displaystyle{ r}\) osób.

Odp:
\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|= n!}\)
\(\displaystyle{ \left| A \right|= 2!(n-r-1)}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2!(n-r-1)}{n!}}\)

Czy dobrze jest ten podpunkt zrobiony? Odnosnie drugiego nie mam pomyslu jak go zrobic, prosze o pomoc

[Gouranga]

1. zacznijmy od tego, że n osób można ustawić jakkolwiek na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów
nas interesuje na początek utworzenie bloku złożonego z \(\displaystyle{ ArB}\) te \(\displaystyle{ r}\) osób wewnątrz możemy ustawić na \(\displaystyle{ r!}\) sposobów natomiast skrajne osoby na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby (zamieniamy A i B miejscami)
do tego bloku dostawiamy \(\displaystyle{ n-r-2}\) osoby które możemy między sobą rozstawić na \(\displaystyle{ (n-r-2)!}\) sposobów a następnie ten blok \(\displaystyle{ ArB}\) możemy przesuwać względem tej zewnętrznej części na \(\displaystyle{ n-r-1}\) sposobów więc nasze prawdopodobieństwo to
\(\displaystyle{ P = \frac{2r!(n-r-2)!(n-r-1)}{n!}}\)-- 6 paź 2013, o 23:34 --a drugie to siedzi sobie gdzieś A i gdzieś B, te 2 punkty na okręgu łaczą 2 łuki, jeden z r osób, drugi z n-r-2 więc będzie \(\displaystyle{ 2!r!(n-r-2)!}\) tylko pytanie czy miejsca przy stole są rozróżnialne tzn. czy obrót samym stołem zmieni to jak patrzymy na nich, jak nie to jest ok, jak tak to trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ n!}\) jako ilość możliwych ustawień stołu

[sowak93]

W zadaniu pierwszym nie powinno być czasami \(\displaystyle{ \frac{2(n-r-1)(n-2)!}{n!}}\)? Po co rozbijać liczbę ludzi na stojących pomiędzy i na zewnąrz

[mat_61]

Te osoby można sobie podzielić na dwie grupy o liczności \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ (n-r-2)}\) co "wydłuża" obliczenia ale nie zmienia wyniku. Gouranga nie uwzględnił tylko, że te \(\displaystyle{ r}\) osób które mają stać pomiędzy A i B trzeba najpierw wybrać spośród \(\displaystyle{ (n-2)}\)

Gdyby to uwzględnić, to wówczas tych ustawień będzie:

\(\displaystyle{ 2r!(n-r-2)!(n-r-1) \cdot {n-2 \choose r} =2r!(n-r-2)!(n-r-1) \cdot \frac{(n-2)!}{(n-r-2)! \cdot r!} =2(n-r-1)(n-2)!}\)

co jest zgodne z tym co obliczył sowak93