Matematyka.pl

Witam Mam mały problem z rozwiązaniem konkretnych nierówności:
1) \(\displaystyle{ 4^x + 2^{x+1} \le 8^x}\)
to będzie:
\(\displaystyle{ 2^{2x}+ 2^{x+1} \le 2^{3x}}\)
Nie wiem co dalej, czy jest sens np. wyciągać coś przed nawias.

2) \(\displaystyle{ 3^{x+1} - 3^{x-1} \ge 24}\)
Tutaj jedyne co wymyśliłam, nawet nie wiem czy potrzebnie, to to:
\(\displaystyle{ 3 \left( 3^x - 3^x \cdot 3^{-2} \right) \ge 3 \cdot 2^3}\)

3) \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{ \frac{1-x}{x+1} } \le \frac{2}{ \sqrt[3]{2} }}\)
Nie wiem jak to ze sobą powiązać. Czy daje coś zamienienie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2} = 2^{ \frac{1}{3} }}\) albo \(\displaystyle{ 2= 2^{-1}}\)

Proszę o jakieś wskazówki Dziękuję

Podstaw zmienną pomocniczą, \(\displaystyle{ t=2^x}\), rozwiąż nierówność z wielomianami.

2)
\(\displaystyle{ 3\cdot 3^x-\frac{1}{3}\cdot 3^x\geq 24}\)

\(\displaystyle{ 2\frac{2}{3}\cdot 3^x\geq 24}\)

1. Przykładowa metoda rozwiązania:

\(\displaystyle{ 2^{3x}-2^{2x}-2\cdot2^x\ge0\\2^x\left(2^{2x}-2^x-2\right)\ge0\\2^x\left(2^x-2\right)\left(2^x+1\right)\ge0}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ 2^x>0}\) oraz \(\displaystyle{ 2^x+1>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb R}\), do rozwiązania pozostaje prosta nierówność: \(\displaystyle{ 2^x-2\ge0}\)

3. Należy zamienić te potęgi na potęgi liczby 2 o wykładnikach wymiernych i skorzystać z monotoniczności funkcji wykładniczej.