Matematyka.pl

Witam.

Mam problem z rozwiązaniem takiego równania cząstkowego metodą symetryczną:

\(\displaystyle{ x \frac{ \partial u}{ \partial x} +y \frac{ \partial u}{ \partial y} +(z- \sqrt{ x^{2} + y^{2} + z^{2} } ) \frac{ \partial u}{ \partial z} =0}\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania tą metodą. Próbowałem to rozgryźć na różne sposoby, ale nie wiem czy mam poprawny wynik. Da się to zamienić na wpsółrzędne biegunowe tak, aby wygoniej było to rozwiązać?

Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ u(x,y,z ) =\Phi \left(\frac{y}{x} , z+\sqrt{ x^2 +y^2 +z^2 }\right) ,}\) gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dowolną funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1 .}\)

brzoskwinka1 pisze:\(\displaystyle{ u(x,y,z ) =\Phi \left(\frac{y}{x} , z+\sqrt{ x^2 +y^2 +z^2 }\right) ,}\) gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dowolną funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1 .}\)

Pilnie proszę o pomoc w powyższym równaniu, jak wyliczyć \(\displaystyle{ z+\sqrt{ x^2 +y^2 +z^2}\) ? Bardzo będę wdzięczna, bo męczę się z tym, bez skutku.

miley pisze:

brzoskwinka1 pisze:\(\displaystyle{ u(x,y,z ) =\Phi \left(\frac{y}{x} , z+\sqrt{ x^2 +y^2 +z^2 }\right) ,}\) gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dowolną funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1 .}\)

Pilnie proszę o pomoc w powyższym równaniu, jak wyliczyć \(\displaystyle{ z+\sqrt{ x^2 +y^2 +z^2}\) ? Bardzo będę wdzięczna, bo męczę się z tym, bez skutku.

Co konkretnie chcesz tu wyliczyć?

Nie wiem jak znaleźć funkcję postaci \(\displaystyle{ z+\sqrt{ x^2 +y^2 +z^2}\).
Układ równań charakterystyk powyższego równania ma postać \(\displaystyle{ ~\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z-\sqrt{x^2 + y^{2} + z^{2}}}}\). Dalej \(\displaystyle{ ~\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}}\) stąd \(\displaystyle{ \Phi_1\left(x,y,z\right)=\frac{x}{y}}\). Jak znaleźć funkcję \(\displaystyle{ \Phi_2\left(x,y,z\right)}\)?