Strona 1 z 1
Wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające róznanie
: 25 wrz 2013, o 18:07
autor: soszu
Wyznacz wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające równanie:
\(\displaystyle{ 2W\left( x\right) + W\left( 1-x\right)=x ^{2}}\)
Będę wdzięczny za odpowiedź razem ze wskazówkami, jak doszliście do poszczególnych etapów rozwiązanie .
Wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające róznanie
: 25 wrz 2013, o 18:46
autor: szw1710
Stopień sumy tych wielomianów po lewej jest identyczny jak stopień \(\displaystyle{ W(x)}\), albowiem współczynnik wiodący się nie może wyzerować. Jeśli \(\displaystyle{ W(x)=ax^n+\dots}\), to współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x^n}\) po lewej jest \(\displaystyle{ 2a+(-1)^na}\), co się nie wyzeruje, gdy \(\displaystyle{ a\ne 0}\).
Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) jest kwadratowy. Mamy stąd \(\displaystyle{ W(x)=ax^2+bx+c}\). Policz lewą stronę i porównaj współczynniki.
Wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające róznanie
: 25 wrz 2013, o 18:50
autor: Qń
Inaczej: wystarczy położyć \(\displaystyle{ x\to 1-x}\) otrzymując równość:
\(\displaystyle{ 2W(1-x) +W(x)= (1-x)^2}\)
i odjąć od niej dwukrotność wyjściowej:
\(\displaystyle{ -3W(x) = (1-x)^2-2x^2}\)
skąd łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ W}\) (nie wolno przy tym zapomnieć o sprawdzeniu, że otrzymany wielomian spełnia wyjściowe równanie).
Q.
Wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające róznanie
: 25 wrz 2013, o 18:53
autor: szw1710
Ze swojej strony polecam przestudiowanie najpierw rozwiązania Qń-a. Moje jest uniwersalne, ale bez nutki piękna. Poza tym rozwiązanie Qń-a uczy warsztatu, można poznać pewne sztuczki, tricki itp.
Wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające róznanie
: 25 wrz 2013, o 18:56
autor: soszu
Może głupie pytanie, ale co znaczy
Qń pisze:położyć
?
Wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające róznanie
: 25 wrz 2013, o 18:58
autor: szw1710
Podstawić \(\displaystyle{ 1-x}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\). To taki żargon matematyczny. Po angielsku będzie put \(\displaystyle{ 1-x}\) instead of \(\displaystyle{ x}\). Jest to dość często stosowane w literaturze