Matematyka.pl

Niech w trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\) zachodzi \(\displaystyle{ b\ge c}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ D}\) środek boku \(\displaystyle{ BC}\) oraz oznaczmy \(\displaystyle{ \angle{ADB} =\alpha}\) . Pokaz że

Najważniejsze jest, żeby z tego, że \(\displaystyle{ b \ge c}\) wywnioskować, że \(\displaystyle{ \alpha \le \frac{\pi}{2}}\).
Poprowadźmy dwusieczną z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\), załóżmy, że przecina bok w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Z tw. o dwusiecznej wynika, że
\(\displaystyle{ \frac{|BE|}{|AB|}=\frac{|CE|}{|AC|}}\) , czyli \(\displaystyle{ |CE| \cdot c = |BE| \cdot b}\) . A jako że \(\displaystyle{ b \ge c}\), dostajemy, że \(\displaystyle{ |CE| \ge |BE|}\) .
Jeśli \(\displaystyle{ |CE| \ge |BE|}\), to znaczy, że punkt \(\displaystyle{ D}\) leży pomiędzy punktami \(\displaystyle{ C}\) a \(\displaystyle{ E}\) (lub ewentualnie pokrywa się z \(\displaystyle{ E}\)). Czyli dostajemy, że kąt \(\displaystyle{ BAD=\pi-\alpha-\beta}\) jest większy równy od kąta \(\displaystyle{ DAC=\alpha-\gamma}\) . Czyli \(\displaystyle{ \pi - \alpha - \beta \ge \alpha - \gamma \Leftrightarrow \pi + \gamma - \beta \ge 2\alpha}\) , skąd już wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \alpha \le \frac{\pi}{2}}\) (ponieważ \(\displaystyle{ \gamma \le \beta}\) z powodu \(\displaystyle{ c \le b}\))
Skoro \(\displaystyle{ \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}]}\), to \(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2} \le 1}\) i dostajemy pierwszą nierówność - \(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2} \le 1 \le \frac{b}{c}}\)
Drugą nierówność otrzymujemy tak - wychodzimy od \(\displaystyle{ \cos \alpha \ge \sin \beta -1}\) (jest to prawda ze względu na zasięg \(\displaystyle{ \alpha}\)) i przekształcamy - \(\displaystyle{ 2(\cos\frac{\alpha}{2})^2-1 \ge \sin \beta -1}\) .
Następnie \(\displaystyle{ 2(\cos\frac{\alpha}{2})^2 \ge \sin \beta}\). Dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \sin\alpha}\) (wiemy, że jest dodatni) dostajemy
\(\displaystyle{ \ctg \frac{\pi}{2}\ge \frac{\sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{b}{c}}\) (ostatnia równość z tw. sinusów)