Matematyka.pl

Wszystkie wartości funkcji holomornicznej leżą na jednej prostej. Pokazać, że funkcja ta jest stała.

Czy wystarczy zapisać, że dla stałych \(\displaystyle{ a,b}\):
Czyli : \(\displaystyle{ u(x,y) = a}\) oraz \(\displaystyle{ v(x,y) = b}\) , więc \(\displaystyle{ f(z)}\) stała (nie skorzystałem z warunku, że \(\displaystyle{ f(z)}\) jest holomorficzna) ?

Tak nie zapiszesz. Niech \(\displaystyle{ b=\alpha a+\beta}\) i wtedy mamy \(\displaystyle{ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=u(x,y)+i\left(\alpha u(x,y)+\beta\right)}\) i teraz skorzystaj z równań C-R dodatkowo przeprowadzając niezbyt skomplikowane rozumowanie.

Dzięki, Takie było też moje pierwsze skojarzenie z tym zadaniem, ale "coś mi nie wychodziło" i zwątpiłem czy jest ok. Teraz już wyszło.