Matematyka.pl

Witam.

Usłyszałem od mojego nauczyciela ostatnio ciekawą zagadkę matematyczną, której nawet on nie jest ponoć w stanie rozwiązać.

Dajmy na to jakiś sympatyczny pan ma pole w kształcie koła o promieniu 10m. Tenże pan uwiązał sobie kozę na sznurku, żeby żarła tą trawę, a sznurek zaczepił na okręgu. Jaką długość musi mieć ten sznurek, żeby koza zjadła dokładnie połowę trawy, która rośnie na tym polu?

Czy takie matematyczne cuś da się w ogóle rozwiązać?
Liczę na was mózgi ;>

Albo nie rozumiem warunków zadania, albo ta zagadka jest bardzo łatwa. Wystarczy obliczyć pole koła o promieniu 10m, wziąć z niego połowę i obliczyć promień koła, które ma pole równe połowie tego pierwszego.

Jeżeli koza wyjadła trawę na połowie koła to najpewniej da się to rozwiązać. Myślę, że w ostateczności można będzie zapytać kozę jak długi miała łańcuch. .
W.Kr.

Da się rozwiązać. Podam odpowiedź, jak doliczę wynik.



Nie dam sobie ręki uciąć za to, ale jeżeli \(\displaystyle{ R}\) jest długością linki i jeżeli nigdzie nie pomyliłem się przy przepisywaniu i rachowaniu, to powinno spełniać równanie

\(\displaystyle{ \frac{R}{20}\left(\frac{R^2}{10}-10\right)+100\arcsin\left(\frac{R}{200}\sqrt{400-R^2}\right)+R^2\arcsin\frac{\sqrt{400-R^2}}{20}-R\sqrt{400-R^2}=50\pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{R}{20}\left(\frac{R^2}{10}-10\right)+100\arcsin\left(\frac{R}{200}\sqrt{400-R^2}\right)+R^2\arcsin\frac{\sqrt{400-R^2}}{20}-R\sqrt{400-R^2}=50\pi}\)

i weź się wciel teraz w tego kolesia liczącego sznurek... chociaż moje nie lepsze

ja coś takiego mam: trochę się nie udało ale ta kropka to ma oznaczać punkt zaczepienia kozy dolne koło wiadomo zasięg, promień to długość sznurka, górne koło - pole. To seledynowe ma się równać połowie górnego koła.
i cały sęk w tym czy to zamocowanie jest na stałe, czy ruchome tzn. czy koza może czy nie może chodzić dookoła pola ja uznałem że jest uwiązana jak pies na łańcuchu

umieśćmy układ współrzędnych w tej kropce. Równanie tego dolnego okręgu będzie takie: \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\) gdzie \(\displaystyle{ r}\) to promień dolnego koła (długość sznurka). Równanie górnego koła: \(\displaystyle{ x^2+\left( y-10\right)^2=100}\).

Seledynowe pole ma być równe \(\displaystyle{ 50\pi \ m^2}\) - i uznać to za obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ x}\). Ja bym to z całki pocisnął. Równanie dolnej krawędzi obszaru:

\(\displaystyle{ x^2+\left( y-10\right)^2=100 \\ \left( y-10\right)^2=100-x^2 \\ y-10=-\sqrt{100-x^2} \\ \blue y=10-\sqrt{100-x^2}}\)

Górne ograniczenie obszaru:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2 \\ y^2=r^2-x^2 \\ \blue y=\sqrt{r^2-x^2}}\)

Ustalmy punkty przecięcia się obu okręgów (układ równań):

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ x^2+\left( y-10\right)^2=100 \end{cases}}\)

odejmujemy drugie od pierwszego

\(\displaystyle{ 2\cdot 10y-10^2=r^2-100 \ \to \ \blue y=\frac{r^2}{20}}\) - i to będą współrzędne \(\displaystyle{ y}\) obu punktów wspólnych okręgów. Szukamy współrzędnych iksowych tych ważniejszych

\(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2 \\ x^2+\left( \frac{r^2}{20}\right)^2=r^2 \\ x^2=r^2-\frac{r^4}{400} \\ x^2=r^2\left( 1- \frac{r^2}{400} \right) \\ \\ x=\sqrt{r^2\left( 1- \frac{r^2}{400} \right)} \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ x=-\sqrt{r^2\left( 1- \frac{r^2}{400} \right)} \\ \blue x=r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} } \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ x=-r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} }}\)

Mamy współrzędne punktów przecięcia (granice całkowania) więc można napisać całkę jako pole obszaru:

\(\displaystyle{ \int_{-r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} }}^{r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} }} \sqrt{r^2-x^2}-10+\sqrt{100-x^2} dx=50\pi}\)

Z racji symetrii można napisać że

\(\displaystyle{ \int_{0}^{r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} }} \sqrt{r^2-x^2}-10+\sqrt{100-x^2} dx=25\pi}\)

sprawdzałem w wolframie i bardzo dziwne rzeczy z tego pokazuje

zatem pozostają metody przybliżone... chyba że ktoś jeszcze coś przedstawi

Kurcze, trudne to, ale dzięki. O takie coś mi właśnie chodziło.

To zadanie, podobnie jak zadanie o drabinach w alejce, powraca co jakiś czas. Rozwiązujący mogą sprawdzić poprawność wyników korzystając z forumowej wyszukiwarki.

koło o polu o połowę mniejszą:
\(\displaystyle{ P_D = 100\pi\\
P_Z = 50\pi\\
r_Z = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}}\)

stąd wynika, że o ile punkt przywiązania jest w odległości conajmniej \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}m}\) od brzegu dziaki to taka własnie jest długość sznura.

jeśli natomiast punkt przywiązania jest bliżej brzegu działki to zachodzi to, co na rysunku loitzl9006 gdzie zasięg wychodzi poza działkę więc sznur musi być dłuższy i trzeba się posłużyć całką

@up przecież napisane jest, że sznurek zaczepił na okręgu.

Buahahaha, a ja zrobiłem bez całek



Oznaczenia:

\(\displaystyle{ P}\) - środek pastwiska (okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\))
\(\displaystyle{ O}\) - miejsce "zaczepienia" kozy, środek okręgu \(\displaystyle{ o_{2}}\) (ten czerwony okrąg)[/latex]
\(\displaystyle{ OO`}\) - średnica pastwiska
\(\displaystyle{ Q, R}\) - punkty wspólne okręgów \(\displaystyle{ o_{1}, o_{2}}\)
\(\displaystyle{ r = 10}\) - długość promienia okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\)
\(\displaystyle{ R}\) - szukana długość promienia okręgu \(\displaystyle{ o_{2}}\)

Koza zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ O}\), może poruszać się tylko po fioletowym polu - inaczej byłoby bez sensu - przynajmniej ja tak rozumiem tę zagadkę. Zatem warunek zadania jest następujący:
\(\displaystyle{ P_{wycinek RPQ} + P_{wycinek ROQ} - P_{PQOR} = \frac{1}{2} P_{o_{1}}}\).

\(\displaystyle{ P_{o_{1}}}\) mamy dane, gorzej z tymi wycinkami, prawda? A ściślej mówiąc z kątami \(\displaystyle{ \angle QPR, \angle QOR}\).

Niech \(\displaystyle{ \angle OQS = \alpha}\), wówczas \(\displaystyle{ \angle SOQ = \frac{\pi}{2} - \alpha}\).
Łatwo wykazać, że: \(\displaystyle{ \angle QOR = \pi - 2\alpha}\). Ponieważ czworokąt \(\displaystyle{ O`QOR}\) jest opisany na okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\) oraz trójkąt \(\displaystyle{ QPR}\) jest równoramienny, to \(\displaystyle{ \angle QPS = 2\alpha}\).

Znamy długości boków trójkąta \(\displaystyle{ QPO}\) (\(\displaystyle{ |OP| = |R - r|}\) - jakbyś miał wątpliwości) więc możemy policzyć \(\displaystyle{ P_{PQOR} = 2P_{QPO}}\), oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\), więc możemy policzyć pola: \(\displaystyle{ P_{wycinek ROQ}}\) i \(\displaystyle{ P_{wycinek RPQ}}\)...
uff...

ucwmiu pisze:Buahahaha, a ja zrobiłem bez całek

Wow.

ucwmiu pisze:

Przydałby się trochę czytelniejszy rysunek. I taki, który jest widoczny w poście, gdyż męczące jest strasznie przeskakiwanie między dwoma oknami, żeby przeczytać Twój wywód.

ucwmiu pisze: Znamy długości boków trójkąta \(\displaystyle{ QPO}\) (\(\displaystyle{ |OP| = |R - r|}\) - jakbyś miał wątpliwości) więc możemy policzyć \(\displaystyle{ P_{PQOR} = 2P_{QPO}}\), oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\), więc możemy policzyć pola: \(\displaystyle{ P_{wycinek ROQ}}\) i \(\displaystyle{ P_{wycinek RPQ}}\)...
uff...

Możesz dokładniej wyjaśnić, skąd mamy wszystkie boki trójkąta \(\displaystyle{ QPO}\) ? Twierdzenie cosinusów? I jak z końcowym wzorem?

Właściwie tak. Tw Cosinusów. Tylko wyliczysz \(\displaystyle{ \alpha}\) ale skąd masz \(\displaystyle{ r}\) w takim razie. Mamy dwie niewiadome. i jedno równanie (tw cosinusów)

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ |PQ| = 10}\), \(\displaystyle{ |OQ| = R}\), \(\displaystyle{ |PO| = |R-10|}\), więc możemy wyrazić \(\displaystyle{ \alpha}\) za pomocą naszej niewiadomej \(\displaystyle{ R}\). Potem wstawiamy do równania :

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}P_{o_{1}} = P_{wycinek RPQ} + P_{wycinek ROQ} - P_{PQOR}}\). Teraz mamy równanie z jedną niewiadomą

Uwaga: żeby wyrazić \(\displaystyle{ \alpha}\) za pomocą \(\displaystyle{ R}\) potrzebna nam jest funkcja \(\displaystyle{ arccos}\) (tw. kosinusów - trójkąt \(\displaystyle{ QPO}\)). O gotowy wzór mnie nie pytaj - po prostu podałem ścieżkę rozwiązania, która - według mnie jest poprawna. Oczywiście jeśli się mylę, będę bardzo wdzięczny, jeżeli ktoś mi pokaże ów błąd - podobno najlepszy sposób na naukę .

PS

yorgin pisze:

ucwmiu pisze: Przydałby się trochę czytelniejszy rysunek. I taki, który jest widoczny w poście, gdyż męczące jest strasznie przeskakiwanie między dwoma oknami, żeby przeczytać Twój wywód.

Czy może mógłbyś mi polecić jakiś program do wykonywania rysunków do zadań z geometrii? Ten robiłem w paint`cie i faktycznie jest trochę lipny.

PPS Jak wstawić rysunek bezpośrednio do postu?

pozdrawiam

Oto ładniejszy rysunek, ale nie wiem, jak go powiększyć...

Zakładając, że promień pola to 1, a długość sznurka to \(\displaystyle{ r}\), wystarczy rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ r^2\cos^{-1}(r/2)+\cos^{-1}(1-r^2/2) -r \sqrt{1-r^2/4} =\pi / 2,}\)

Niestety, inaczej niż się nie da.

Patrząc nieco ogólniej, wyprowadziłem wzorek na udział wyjedzonej trawy na polu, w zależności od proporcji długości sznurka do promienia pola. (koza przywiązana w punkcie na skraju pola).
\(\displaystyle{ k}\)-iloraz długości sznurka do promienia pola.
\(\displaystyle{ w= \frac{k \sqrt{(2-k)(2+k)} }{2} }\) - pomocnicza.
\(\displaystyle{ T=\left( \frac{k-1}{ \pi }\right) \arcsin(w) - \frac{w}{ \pi } +1}\)-udział wyjedzonej trawy.