Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozw. poniższych zadań

Stwierdzić któa zpodanych niżej podprzestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\) zawiera podzbiór homeomorficzny z okręgiem:

1) \(\displaystyle{ \left\{ \left( x, \sin \frac{1}{x} \right) \in R : x \in (0,1)\right\}}\)

2) \(\displaystyle{ R^2 \setminus \bigcup \left\{(k,k+1) \times (n,n+1): n,k \in Z \right\}}\)

Zbiór z punktu 2 zawiera podzbiór: Jest to po prostu brzeg kwadratu, zatem jest on homeomorficzny z okręgiem.

Pierwszy zbiór nie zawiera podzbioru homeomorficznego z \(\displaystyle{ S^1}\), bo jest homeomorficzny z odcinkiem.

torus pisze: Pierwszy zbiór nie zawiera podzbioru homeomorficznego z \(\displaystyle{ S^1}\), bo jest homeomorficzny z odcinkiem.

Ten argument nie przejdzie, gdyż jest nieprawdziwy.

Zamiast tego można stwierdzić, że dowolny spójny podzbiór danego zbioru po usunięciu jednego punktu przestaje być spójny, gdy okrąg nie traci spójności.

yorgin, czy nie wyobraziłeś sobie przypadkiem domknięcia tego wykresu zagęszczonej sinusoidy?

Wyobraziłem. Jeżeli sinusoida taka jak w zadaniu byłaby homeomorficzna z odcinkiem otwartym, to domknięcie tejże sinusoidy byłoby homeomorficzne z odcinkiem domkniętym. Ale pierwszy zbiór nie jest lokalnie spójny.

Być może korzystam gdzieś z nieprawdziwego faktu?

Odcinek otwarty (traktowany jako podzbiór płaszczyzny) jest homeomorficzny z prostą (również traktowaną jako podzbiór płaszczyzny, z topologią podprzestrzeni). A co z domknięciem odcinka otwartego?

Ok, widzę lukę. Dzięki za zwrócenie uwagi i wyprowadzenie z błędu.

Zasygnalizowany został tutaj dość subtelny problem. Jak mamy jakąś przestrzeń topologiczną i pewną jej podprzestrzeń, to homeomorfizm tej podprzestrzeni "nie widzi" tego, w czym ta podprzestrzeń jest zanurzona. Stąd na przykład cała teoria węzłów - węzeł to w najprostszym ujęciu podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) homeomorficzna z okręgiem. Gdyby z topologii okręgu wynikało zachowanie się takiego zbioru traktowanego jako podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), niewiele ciekawego mieli byśmy do powiedzenia
Jak weźmiesz podręcznik do topologii/pogooglasz o rogatej sferze Alexandera, to znajdziesz ciekawy przykład - podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) homeomorficzną z kulą, której dopełnienie nie jest nawet jednospójne.