Matematyka.pl

Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ E \subset \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ \lambda(E) > 0}\), to istnieją takie punkty \(\displaystyle{ x, y \in E}\), że \(\displaystyle{ x-y \notin \mathbb{Q}}\)


Czy dowód mówiłby wyglądać tak ?

Z \(\displaystyle{ E \subset \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ \lambda(E) > 0}\) mamy, że \(\displaystyle{ E}\) musi być przedziałem, więc jest w nim nieskończenie wiele liczb, w szczególności są \(\displaystyle{ x,y}\), takie, że w różnicy dają liczbę niewymierną, więc jedna z nich musi być wymierna a druga niewymierna, wtedy różnica będzie liczbą niewymierną.

Jeśli \(\displaystyle{ E}\) jest zbiorem liczb niewymiernych, to ma miarę dodatnią i nie jest przedziałem.

Skojarz z twierdzeniem Steinhausa. Podobne zadanie rozwiązałem tym twierdzeniem początkiem maja 2011. Pooglądaj. Przechodzi identyczny argument. Z twierdzenia Steinhausa zbiór \(\displaystyle{ E-E=\{x-y:x,y\in E\}}\) zawiera przedział, bo na mocy tw. Steinhausa ma niepuste wnętrze. Ale w przedziale są zawsze liczby niewymierne i liczby wymierne. Tak więc istnieją w zbiorze \(\displaystyle{ E}\) dwa punkty \(\displaystyle{ x,y}\) o różnicy niewymiernej i także istnieją \(\displaystyle{ u,v}\) o różnicy wymiernej.