Matematyka.pl

Cześć,

Czy przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (\mathbb{R},d)}\) jest ośrodkowa i zupełna ?
Prawdopodobnie wystarczyłoby sprawdzić tylko czy przestrzeń jest zwarta, ale z tym mam problem, dlatego prosiłbym Was o wskazówki.

Kule o małych promieniach są identyczne jak w przestrzeni euklidesowej.

Zatem jest zwarta ? (Jest domknięta i ograniczona)

Gramy w 21 pytań?

No nie wiem, jaki miałby być podciąg zbieżny w ciągu \(\displaystyle{ x_n = n,}\) \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)?

Więc:
Myślę, że przestrzeń metryczna jest zupełna, ponieważ ciąg spełniający warunek Cauchego, czyli wyrazy ciągu od pewnego miejsca są blisko siebie jest zbieżny ponieważ. Wynika to z tego, że w przypadku liczb dowolnie małych różnić wyrazów ciągu nasza metryka jest równa metryce euklidesowej, a w niej ciąg spełniający warunek Cauchego jest zbieżny.

Jeśli chodzi o ośrodkowość, czyli o istnienie w przestrzenie gęstego i przeliczalnego podzbioru - to wydaje mi się, że taki nie istnieje, ale mam problem z pokazaniem tego.

A co powiesz o zbiorze liczb wymiernych?

Zbiór liczb wymiernych będzie gęstym i przeliczalnym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych -
(Pomyliłem definicję domknięcia, przy sprawdzeniu gęstości zbioru) - więc jednak omawiana przestrzeń jest ośrodkowa.

A jeśli chodzi o zupełność - jest ok ?

Sądzę, że tak. Wynika to z postaci kul o małych promieniach.