Matematyka.pl

Zbadaj czy wielomian \(\displaystyle{ (x^{2}+1)T^{3}+x^{3}+x}\) jest rozkładalny w pierścieniu \(\displaystyle{ R(x)[T]}\)

Co to za dziwny pierścień. Wielomianów na pierścieniem wielomianów, dobrze rozumiem?

No właśnie takie zadanie miałam na egzaminie i nie wiem, a jesli tak to jak sie za to zabrac;/

Może spróbować rozpisać na iloczyn \(\displaystyle{ (a_1(x)T^2+a_2(x)T+a_3(x))(b_1(x)T+b_2(x))}\), jeśli się rozkłada to musi mieć część liniową ze wzgledu na to że jest to wielomian stopnia 3.
Wtedy \(\displaystyle{ a_1b_1T^3+(a_1b_2+a_2b_1)T^2+(a_2b_2+a_3b_1)T+a_3b_2}\) i porównujemy współczynniki (pominąłem już "x" żeby wyraźniej wyglądało).
\(\displaystyle{ a_1(x)= x^2+1\quad i\quad b_1(x)=1}\) lub \(\displaystyle{ b_1(x)= x^2+1\quad i\quad a_1(x)=1}\) ( tylko takie przypadki bo \(\displaystyle{ x^2+1}\) w R[x] nie rozkłada się )
Rozważmy pierwszy przypadek
\(\displaystyle{ (x^2+1)b_2+a_2=0}\)
\(\displaystyle{ a_2b_2+a_3=0}\)
\(\displaystyle{ a_3b_2=x^3+x}\)
Z tego da się wyliczyć \(\displaystyle{ b^3_2(x^2+1)=x^3+x}\). Widać, że musi być \(\displaystyle{ b^3_2=x}\), czyli \(\displaystyle{ b_2=\sqrt[3]{x}}\) a to nie należy do \(\displaystyle{ R[x]}\).
Drugi przypadek wychodzi całkiem analogicznie.
Ja bym tak to zrobił na egzaminie, ale myślę że na forum są specjaliści którzy poprawią moje rozumowanie jeżeli jest błędne.

robertm19, w tym rozwiązaniu masz trochę luk. Elementy \(\displaystyle{ a1,a2,a3,b1,b2}\) są funkcjami wymiernymi. Możliwe, że uda się wykazać, że muszą być wielomianami, ale nie myślałem o tym. Zauważmy, że \(\displaystyle{ (x^{2}+1)T^{3}+x^{3}+x=(x^2+1)(T^3+x)}\). Element \(\displaystyle{ x^2+1}\) jest skalarem w pierścieniu \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), więc wystarczy rozważać nierozkładalność wielomianu \(\displaystyle{ T^3+x}\). Czym jest \(\displaystyle{ R}\), liczby rzeczywiste czy jakiś dowolny pierścień? Jeśli to liczby rzeczywiste, to wystarczy sprawdzić, czy ten wielomian ma pierwiastek, a to łatwo sprawdzić.

marcinz, dlaczego uważasz że są to funkcje wielomianowe? Nie rozumiem twojego zdania na ten temat. Zakładam, że są takie wielomiany, że da się tak rozpisać. Po czym dochodzę do tego, że przynajmniej jeden nie jest wielomianem. Taka jest moja idea do tego zadania.

robertm19 pisze:marcinz, dlaczego uważasz że są to funkcje wielomianowe? Nie rozumiem twojego zdania na ten temat. Zakładam, że są takie wielomiany, że da się tak rozpisać. Po czym dochodzę do tego, że przynajmniej jeden nie jest wielomianem. Taka jest moja idea do tego zadania.

To jest \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), a nie \(\displaystyle{ R[x][T]}\). Czyli współczynniki tego wielomianu to funkcje wymierne, a nie wielomiany.

liu pisze: To jest \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), a nie \(\displaystyle{ R[x][T]}\). Czyli współczynniki tego wielomianu to funkcje wymierne, a nie wielomiany.

A to przepraszam, nie znam takiego pierścienia. To był strzał, że są to wielomiany.

Obstawiam, że to po prostu funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych, tylko, że autorzy zwykle rzucają treść zadania nie zwracając uwagi na fakt, że każdy wykład ma swoje konwencje w zakresie nazewnictwa i oznaczeń, nie zawsze izomorficzne z konwencjami próbujących pomóc.

Funkcje wymierne o współczynnikach z pierścienia nie zachowują się tak ładnie, jak takie nad ciałem.

Myśleliście może nad kryterium Eisensteina? Wydaje mi się, że z niego całe zadanie pójdzie od ręki.